Методика кореляційно-регресійного аналізу

Моделювання – один з ефективних засобів пізнання законів навколишнього середовища. Особливого значення набувають моделі при вивченні процесів, які не піддаються експериментуванню. Передусім це стосується природних явищ і процесів, закономірності яких формуються під впливом багатьох взаємопов’язаних факторів.

За своєю природою природні явища стохастичні, тобто мають елементи невизначеності. Вивчення таких процесів має спиратися на такі методи, які в умовах невизначеності забезпечують сталість і надійність висновків.

Статистична модель представляє собою абстрактну схему відношень між величинами. На основі апріорного аналізу природи процесу формулюються гіпотези щодо окремих його властивостей і закономірностей. Гіпотези перевіряються на фактичних даних, які розглядаються як випадкові реалізації стохастичного процесу. Це дозволяє імовірнісно оцінювати результати моделювання.

Завдання імовірнісного оцінювання – встановити наскільки виявлена закономірність позбавлена випадкових впливів, і характер дії комплексу умов, у яких функціонує об’єкт моделювання.

При вивченні причинно-наслідкового механізму формування процесу важливим є багатофакторне прогнозування. У цьому випадку процес розглядається як функція певної множини факторів, вплив яких аналізується одночасно або з деяким запізненням. Інформаційною базою виступає система взаємопов’язаних динамічних рядів.

Важливим етапом статистичного прогнозування є верифікація прогнозів, тобто оцінювання їх точності та обґрунтованості. На етапі верифікації використовують сукупність критеріїв, способів і процедур, які дозволяють оцінити якість прогнозу.

Всю різноманітність факторів, що впливають на процес, який вивчається, можна розділити на дві групи: головні (ті, які визначають рівень процесу, що вивчається) та другорядні. Останні мають часто випадковий характер, визначаючи специфічні та індивідуальні особливості кожного об’єкта, що вивчається.

Взаємодія головних та другорядних факторів і визначає коливання досліджуваного процесу. В цій взаємодії синтезоване, як необхідне, типове, що визначає закономірність явища, яке вивчається, так і випадкового, що характеризує відхилення від цієї закономірності і неминуче супроводжує будь-яке закономірне явище.

Для достовірного відображення об’єктивно існуючих в природі процесів необхідно виявити суттєві взаємозв’язки і не тільки виявити, але і провести їх кількісну оцінку. Цей підхід потребує знаходження причинних залежностей. Під причиною залежності розуміємо такий зв'язок між процесами, коли зміни одного із них є наслідком змін другого.

Основними задачами кореляційного аналізу є оцінка сили зв’язку та перевірка статистичних гіпотез про наявність і силу кореляційного зв’язку.

Не всі фактори, які впливають на природні процеси, є випадковими величинами. Тому при аналізі природних явищ, як правило розглядаються зв’язки між випадковими і не випадковими величинами. Такі зв’язки називаються регресійними, а метод математичної статистики, який їх вивчає називається регресійним аналізом.

Регресійна модель описує об’єктивно існуючі між явищами кореляційні зв’язки. За своїм характером ці зв’язки надзвичайно складні та різноманітні. Простежити їх і встановити точний функціональний вигляд практично неможливо. Важливими є апроксимації відносно простими функціями, такими, як лінійна, степенева, показникова, тощо.

Лінійне рівняння регресії записується наступним чином:

,

де b₀ – вільний член рівняння, як правило, економічного змісту не має;

b_і – коефіцієнт регресії, показує, як в середньому змінюється фактор у зі змінною х_і на одиницю своєї розмірності;

е – залишкова величина.

Параметри регресійної моделі шукаються методом найменших квадратів (МНК). Первинна інформація задається матрицею факторних ознак Х і вектором результативної ознаки (у).

Оскільки факторні ознаки мають, як правило, різні одиниці вимірювання, то для порівняння їх впливу у моделі на результативну ознаку використовують стандартизовані коефіцієнти регресії

(бета-коефіцієнти) або коефіцієнти еластичності:

.

Бета-коефіцієнт характеризує долю впливу на у кожного фактора х_і в середньоквадратичних відхиленнях, а коефіцієнт еластичності – у процентах.

Адекватність регресійної моделі означає здатність її правильно описати реальну структуру взаємозв’язків.

Для оцінювання адекватності регресійної моделі використовують:

– стандартне відхилення;

– множинні коефіцієнти детермінації та кореляції;

– частинні коефіцієнти детермінації та кореляції;

– коефіцієнти окремої детермінації;

– критерії перевірки істотності зв’язку.

Серед критеріїв перевірки істотності зв’язку найбільшого розповсюдження набув критерій Фішера (F - критерій).

Висувається гіпотеза H₀: R²=0 розраховується статистика

.

Критичні значення F_1-α(k₁;k₂), беруться з таблиць (α рівень істотності; k₁=m-1; k₂=n-(m-1) – числа ступенів вільності чисельника та знаменника). Якщо F>F_1-α нульова гіпотеза про рівність коефіцієнта детермінації нулю відкидається, якщо F<F_1-α , нульова гіпотеза приймається.

Можна оцінити істотність коефіцієнта детермінації безпосередньо використовуючи критичні значення з таблиць

.

Множинний коефіцієнт детермінації характеризує сукупний вплив факторів, включених до моделі, на результуючу ознаку. Він показує який відсоток рівня результативної ознаки формується за рахунок впливу включених до моделі факторів. Визначається за формулою:

, де

– залишкова сума квадратів відхилень, яка розраховується за формулою ;

– факторна сума квадратів відхилень – ;

– загальна сума квадратів відхилень – ;

– рівні значень результуючої ознаки за фактором;

– рівні значень результуючої ознаки, отримані за розрахунками по моделі (прогнозні);

.

Коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв’язку і вид. Слід зауважити, що . Якщо , то зв’язок між ознаками прямий, якщо зв’язок обернений. Чим ближчий коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною до одиниці, тим зв’язок тісніший, чим він ближчий до нуля за абсолютною величиною, тим зв’язок слабкіший.

Коефіцієнт детермінації може бути розрахований з урахуванням ступенів вільності:

, де

– оцінка залишкової дисперсії – ;

– оцінка дисперсії результативного фактора – ;

– обсяг сукупності;

– кількість коефіцієнтів регресії.

Для характеристики долі кожного фактора у сукупній детермінації коефіцієнт детермінації розкладають на складові:

, де – коефіцієнт окремої детермінації, який залежить від потужності впливу і-го фактора на результуючий фактор та щільності зв’язку між ними (r_i0 – парний коефіцієнт кореляції).

Паралельно з оцінюванням адекватності моделі проводиться перевірка істотності впливу окремих факторів х_і на у за допомогою t-критерію (критерію Стьюдента):

– стандартна похибка коефіцієнта регресії;

– оцінка залишкової дисперсії;

C_ij – діагональний елемент оберненої матриці до розширеної матриці даних сукупності.

Стандартну похибку коефіцієнта регресії можна знайти приблизно за іншою простішою формулою:

.

Критичні значення беруться з таблиць, вхід в таблиці за числом α та ступенями вільності k=n-1.

Якщо , то вплив і- го фактора вважається істотним, фактор залишають у моделі.

Довірчі межі ефекту впливу визначають за формулою: , де значення двостороннього t-критерію.

При виборі предикторів, що формують результативний фактор, доцільно також звернути увагу на мультиколеніарність факторів. Якщо коефіцієнт кореляції між факторами високий (загалом вважається високим, якщо він більший множинного коефіцієнта кореляції), то один із взаємозалежних факторів виключається з моделі [17, 18, 19].