9.4. Критерій узагальненого максиміна Гурвіца

Критерій Гурвіца для матриці виграшів. У цьому випадку перевага надається варіанту рішень, для якого виявиться максимальним показник О, що визначається з виразу:

max_i G_i = (xα_i + (1-x) β_i)

H_G= max_i G_i

H_{G =} max_i (xα_i + (1-x) β_i),

де α_{i =} min_j a_ij, β_{i =} max_j a_ij

де a_ij— виграш, що відповідає i-му рішенню при j-ім варіанті обстановки,

х - показник оптимізму (0 < х < І),

при х = 0 — лінія поводження в розрахунку на краще,

х = 1 -лінія поводження в розрахунку на гірше.

При х = 1, критерій Гурвіца прирівнюється до критерію Вальда, тобто орієнтація на обережне поводження.

При х = 0, орієнтація на граничний ризик, що відповідає критерію крайнього оптимізму.

Значення х між 0 і 1 є проміжними між ризиком і обережністю залежно від конкретної обстановки і схильності особи, що приймає рішення, до ризику.

Якщо дана матриця програшів, то перевага надається варіанту рішень, для якого виявиться мінімальним показник G, що визначається з виразу:

H_{G =} min_i (xα_i + (1-x) β_i),

де

α_{i =} max_j a_ij,

β_{i =} min_j a_ij,

де (0 < х < 1) – показник песимізму.

При х = 1 приходимо до песимістичного критерію Вальда.

При х = 0 — до гранично оптимістичного критерію.

Значення х вибирають на підставі суб'єктивних розумінь. Чим більше бажання підстрахуватися в даній ситуації, тим ближче до одиниці значення х.

Приклад 7

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Гурвіца, якщо відома матриця прибутку:

5	3	1
6	4	8
2	9	6

Розв'язання:

Знайдемо спочатку величини α_i, і β_i, де α_{i =} min_j a_ij, β_{i =} max_j a_ij

Р1	Р2	Р3	αi	βi
5	3	1	1	5
6	4	8	4	8
2	9	6	2	9

Тепер приймається рішення про вибір стратегії, при якій має місце формула:

H_{G =} max_i (x min α_i + (1-x) max β_i),

	(х 1 + (1-х) 5)
HG = maxi	(х 4+ (1-х) 8)
	(х 2+ (1-х) 9)

Тоді х — показник оптимізму (0 < х < 1).

Тепер побудуємо графік статистики. Для цього побудуємо пряму ОХ, відкладемо на ній точки α і β, побудуємо перпендикуляри з цих точок до осі ОХ (рис. 9.1). Відкладемо точки на прямих α і β. Прямій № 1 відповідають точки 1 і 5. Прямій № 2 відповідають точки 4 і 8. Прямій № 3 відповідають точки 2 і 9.

Рис. 9.1. Графічний розв'язок для критерію Гурвіца

Нижньою ціною гри буде пряма № 1, отже потрібно вибрати стратегію 1. При х = 1 виграш буде дорівнювати 1, при х = 0 мінімальний виграш буде дорівнювати 5.

9.5. Принцип недостатнього обґрунтування Лапласа

Принцип недостатнього обгрунтування Лапласа використовується у випадку, якщо можна припустити, що будь-який з варіантів обстановки не більше ймовірний, ніж інший. Тоді імовірності обстановки можна вважати рівними і робити вибір рішення так само, як і в умовах ризику— по мінімуму середньозваженого показника ризику Тобто перевагу слід надати варіанту, який забезпечує мінімум у виразі

Приклад 8

Розглянемо вибір варіантів в умовах невизначеності з використанням принципу недостатнього обґрунтування Лапласа на виідних даних, наведених у табл. 9.3.

Таблиця 9.3

Вихідні дані

Варіанти рішень	Продукція
	Q1	Q2	Q3
Р1	0,55	0,47	0
Р2	0,05	0,62	0,10
Р3	0,45	0	0,30
Р4	0	0,62	0,05

Оскільки розглядалися три види продукції (п = 3), то ймовірність кожного варіанта становить 0,33 (рівноймовірна).

Тоді, з урахуванням наведених даних про втрати прибутку для кожної пари сполучень рішень Р і випуску продукції, а також імовірності кожного варіанта обстановки, рівної 0,33, розрахуємо середньозважений показник ризику для кожного з рішень.

Отже, середньозважений показник ризику для кожного з рішень становитиме:

R₁ = 0,55 х 0,33 + 0,47 х 0,33 + 0,00 х 0,33 = 0,3366

R₂ = 0,05 х 0,33 + 0,62 х 0,33 + 0,10 х 0,33 = 0,2541

R₃ = 0,45 х 0,33 + 0,00 х 0,33 + 0,3 х 0,33 = 0,2475

R₄ = 0,00 х 0,33 + 0,72 х 0,33 + 0,05 х 0,33 = 0,2541

Як оптимальний слід вибрати варіант рішення Р₃.

Приклад 9

Можливе будівництво чотирьох типів електростанцій: А₁ (теплових), А₂ (пригребельних), А₃ (безгребельних) і А₄ (шлюзових). Ефективність кожного з типів електростанцій залежить від різних факторів: режиму рік, вартості палива і його перевезення тощо. Припустимо, що виділено чотири різних стани, кожен з яких означає певне сполучення факторів, що впливають на ефективність енергетичних об'єктів. Стани природи позначимо через Р₁, Р₂, Р₃ і Р₄. Економічна ефективність будівництва окремих типів електростанції змінюється залежно від станів природи і заданої матриці.

Знайти найменш ризиковану стратегію, користуючись критеріями оптимізму і песимізму.

	5	2	8	4
А =	2	3	4	12
	8	5	3	10
	1	4	2	8

Розв'язання:

Як вихідні дані розглядається матриця програшів.

					min αi	max βi
	5	2	8	4	2	8
А =	2	3	4	12	2	12
	8	5	3	10	3	10
	1	4	2	8	1	8
min	1	2	2	4

Відповідно до критерію Вальда:

H_{w =} min_i max_j a_ij = max_i α_i = min (8,12,10,8) = 8

Отже, найменш ризикованою є стратегія А₁ і слід передбачити будівництво безшлюзової ГЕС.

Скористаємося критерієм Севіджа.

Побудуємо матрицю ризику: r_ij = a _ij- min_i a_ij.

					max r
	4	0	6	0	4
R =	1	1	2	8	8
	7	3	1	6	7
	0	2	0	4	4

Відповідно до критерію Севіджа визначаємо

H_{s =} min_i max_j r_ij = min (4,8,7,4) = 4

Відповідно до цього критерію передбачається рішення А₁ і А₄.

Скористаємося критерієм Гурвіца.

Оскільки значення х вибирають на підставі суб'єктивних міркувань (чим більше бажання підстрахуватися в даній ситуації, тим ближче до одиниці значення х), припустимо, що х = 0,5.

Тоді H_{G =} min_i (xα_i + (1-x) β_i),

де

α_{i =} max_j a_ij,

β_{i =} min_j a_ij,

H_{G =} min_i (xα_i + (1-x) β_i),

	0,5 х 8 + 0,5 х 2
HG = mіпi	7
	6,5 4,5

=4,5

тобто слід прийняти рішення про будівництво шлюзових ГЕС.

Якщо припустити відомим розподіл імовірностей для різних станів природи, наприклад, вважати ці стани рівноймовірними (q₁=q₂ = q₃ = q₄ = 1/4), то для прийняття рішення слід знайти математичні очікування програшу:

М₁ = 5 х 1/4 + 2 х 1/4 + 8 х 1/4 + 4 х 1/4 = 4,75

М₂ = 2 х 1/4 + 3 х 1/4 + 4 х 1/4 + 12 х 1/4= 5,25

М₃ = 8 х 1/4 + 5 х 1/4 + 3 х 1/4 + 10 х 1/4= 6,5

М₄ = 1 х 1/4 + 4 х 1/4 + 2 х 1/4 + 8 х 1/4= 3,75.

Оскільки максимальне значення має М₄, то слід вибрати рішення А₄.

Приклад 10

Є певні кошти на будівництво підприємств. Необхідно найбільш ефективно використовувати капіталовкладення з урахуванням кліматичних умов, під'їзних шляхів, витрат на перевезення і т. д. Поєднання цих факторів щодо впливу на ефективність капіталовкладень можна розбити на чотири стани природи — В₁, В₂, В₃, В₄. Типи підприємств позначимо А₁, А₂, А₃, А₄. Ефективність будівництва визначається як відсоток приросту доходу стосовно суми капітальних вкладень (табл. 9.4).

Таблиця 9.4

Вихідні умови

Стан природи	В1	В2	В3	В4	mini аij	maxj аij	Середня ефективність
Тип підприємства							1/2 (mini аij + maxj аij)
А1	6	3	9	5	3	9	6
А2	3	4	5	13	3	13	8
А3	9	6	4	11	4	11	7,5
А4	2	5	3	9	2	9	5,5
maxj аij	9	6	9	13

Варіанти рішень:

1. Рішення за принципом стратегічних ігор, за принципом максиміна:

max_j min_i a_ij = 4.

Потрібно будувати підприємство А₃.

Якщо змінити умови і припустити, що в таблиці відбиті витрати на будівництво підприємств, тоді вибір типу підприємств слід здійснити за принципом мінімакса:

Потрібно будувати підприємство А₁ чи А₄.

2. Рішення за принципом Гурвіца

Якщо відомі всі ймовірності, що визначають стани природи, зробимо вибір за допомогою середнього арифметичного кращого і гіршого результатів.

Згідно розрахункам, буде рекомендація будувати підприємство А₂, що забезпечує максимальну середню ефективність.

_{(13 +3) / 2 = 8}

_{3. Застосуємо принцип Байєса – Лапласа при рівних імовірностях станів природи р(В1) =р(В2) = р(В3) = р(В4) = ¼.}

_{Визначимо рентабельність, що відповідає рішенню А1, тобто М1:}

М₁ = 6 х 1/4 + 3 х 1/4 + 9 х 1/4 + 5 х ¼ = 23 /4 = 5,75

Далі визначаємо М₂, М₃ і М₄.

М₂, = 6,25

М₃ = 7,5

М₄ = 4,75.

Припускаючи, що всі ймовірності станів природи рівні, варто будувати підприємство А₃, тому що М₃ = 7,5 = max_j (М₁, М₂,, М₃, М₄.).

Принцип _{Байєса – Лапласа є сенс застосовувати, якщо можливо оцінити ймовірності окремих станів природи.} Принцип Гурвіца допускає, що при відсутності інформації про імовірності виникнення окремих станів природи брати середнє арифметичне значення результатів найкращого і найгіршого рішень.