9.1. Критерій Вальда

Отже, якщо питання розподілу ймовірностей станів природи не вирішений, то використовують класичні критерії прийняття рішень в умовах невизначеності.

Один з них— критерій Вальда, критерій крайнього песимізму. Він аналогічний підходу, застосовуваному в стратегічних іграх, де супротивник вкрай агресивний. Критерій орієнтує особу, що приймає рішення, на вкрай обережну лінію поводження, тому ним користуються у випадках, коли необхідно забезпечити успіх за будь-яких можливих умов.

Можливі два підходи — коли рішення приймається, виходячи з матриці виграшів (наприклад, прибутків) чи виходячи з матриці програшів.

Відповідно до критерію Вальда, якщо розглядається матриця виграшів гравця А то найкращим рішенням буде те, для якого виграш виявиться максимальним із усіх мінімальних, при різних варіантах умов. Цей принцип називається критерієм максиміна.

Формалізований вираз максиміна виглядає так:

H_{w =} max_j min_i a_ij

H_w= max_i α_i

α_{i =} min_j a_ij

Максимінний критерій Вальда використовується у випадках, коли потрібна гарантія, щоб виграш у будь-яких умовах виявився не менший, ніж найбільший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

Якщо розглядається матриця програшів гравця А, то найкращим рішенням відповідно до критерію Вальда буде те, для якого програш виявиться мінімальним із усіх максимальних, при різних варіантах умов. Цей принцип називається критерієм мінімакса.

Формалізований вираз мінімакса виглядає так:

H_{w =} min_i max_j a_ij

H_{s =} min_i β_i

β_{i =} max_j a_ij

Мінімаксний критерій Вальда використовується у випадках, коли потрібна гарантія, щоб програш у будь-яких умовах виявився не більший, ніж найменший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

Приклад 1

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Вальда.

Дана матриця виграшів (табл. 9.1), де А , А , А — прийняті гравцем рішення, р , р , р - стану природи, а_и — виграші за відповідних умовах.

Знайдемо мінімальні виграші в кожному рядку: α_i = (1,4,2).

Тепер серед них знайдемо максимальне значення: Hw = mах (1,4,2) = 4.

З прикладу випливає, що mах mіп = 4, значить перевагу треба віддати рішенню А₂. У цьому випадку ми незалежно від варіантів обстановки Р одержимо виграш не менше 4.

Таблиця 9.1

Матриця виграшів (прибутків)

	р	р	р	min
А	8	3	1	1
А	7	4	9	4
А	4	2	5	2

За будь-якого іншого рішення, у разі несприятливої обстановки, може бути отриманий виграш менше 4.

Приклад 2

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Вальда. Нехай дана матриця збитків (табл. 9.2)

Таблиця 9.2

Матриця виграшів (прибутків)

	р	р	р	max
А	9	3	1	9
А	7	1	5	7
А	4	11	5	11

Знайдемо максимальні збитки в кожному рядку: β_i = (9,7,11).

Тепер серед них знайдемо мінімальне значення: Hw=mіп (9, 7, 11) = 7.

З прикладу випливає, що min max = 7, значить перевагу треба віддати рішенню А₂. У цьому випадку ми, незалежно від варіантів обстановки р, одержимо збитки не більше 7. При будь-якому іншому рішенні, у випадку несприятливої обстановки, може бути отриманий програш більше 7.