Лекція 9. Статистичні ігри (моделі) План

9.1. Критерій Вальда

9.2. Критерій крайнього оптимізму (кращий із кращих)

9.3. Мінімаксний критерій Севіджа

9.4. Критерій узагальненого максиміна Гурвіца

9.5. Принцип недостатнього обґрунтування Лапласа

У теорії стратегічних ігор передбачалося, що в них беруть участь два гравці, інтереси яких протилежні. Тому дії гравців спрямовані на збільшення виграшу одного гравця і зменшення програшу другого.

Однак у багатьох задачах, що прирівнюються до ігрових, невизначеність викликана відсутністю інформації про умови, у яких відбувається дія. Ці умови залежать не від свідомих дій одного гравця, а від об'єктивної дійсності, що прийнято називати природою. Такі ігри називають статистичними.

Статистичні ігри (моделі) - це гра двох осіб - людини і природи - з використанням людиною додаткової статистичної інформації про стани природи.

Тут природа не є розумним гравцем, що прагне вибрати для себе оптимальні стратегії. Цей гравець не зацікавлений у виграші. Інша справа - людина, у даному випадку статистик. Він має на меті виграти гру з уявлюваним супротивником, тобто з природою. Гравець-природа не вибирає оптимальної стратегії, але статистик повинен прагнути до визначення розподілу ймовірностей стану природи.

Статистик (гравець А) намагається діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімаксну стратегію, що дозволяє одержати найменший програш.

Гравець-природа діє зовсім випадково, можливість стратегії визначається як її стан, наприклад, умови погоди в даному районі, попит на продукцію, обсяг перевезень, вантажопотік і т. д.

Отже, основними відмінностями статистичної гри від стратегічної є:

• відсутність прагнення до виграшу в гравця-природи, тобто відсутність антагоністичного супротивника;

• можливість другого гравця-статистика провести статистичний експеримент для одержання додаткової інформації про стратегії природи.

Так, наприклад, статистик, що працює у фірмі «Одяг», може вивчити багаторічні дані про погодні умови в місцевостях, де одяг буде продаватися, і в залежності від найбільш ймовірного стану погоди виробити рекомендації, куди і яка кількість партій виробів відправляти, де вигідніше і на якому рівні провести сезонне зниження цін і т. д. Таким чином, теорія статистичних рішень є теорією проведення статистичних спостережень, обробки цих спостережень і їхнього використання.

У статистичних іграх використовуються такі поняття: функція ризику, функція втрат, функція рішень. Умови гри задаються у вигляді матриці А = ||a_ij||- це множина рішень статистика. В = ||в_ij|| - це множина рішень природи. Елемент а_ij дорівнює виграшу гравця А, якщо він використовує стратегію A_i а природа має стан В_j. У ряді випадків при розв'язанні гри розглядають матрицю ризиків R = ||r_ij||.

Елементи матриці ризику r_ij— це різниця між виграшем, що одержав би статистик А_i, якби знав стан природи В_j і виграшем, який він одержить у тих же умовах, застосовуючи стратегію А_i.

r_ij = β_ij - α_ij (1)

Однак у цих випадках не можна стверджувати, що прийняте рішення є оптимальним. Оптимальним воно є тільки щодо прийнятого розподілу імовірностей станів природи. Якщо ж питання розподілу ймовірності і природи невідоме, можна скористатися:

1. Максимінним критерієм Вальда чи критерієм крайнього песимізму;

2. Мінімаксним критерієм Севіджа (теж критерій крайнього песимізму);

3. Критерієм крайнього оптимізму;

4. Критерієм узагальненого максиміна Гурвіца (критерій песимізму-оптимізму).