4) Ділення комплексних чисел

де .

Якщо комплексні числа подані в алгебричній формі, то тоді треба позбу­тись комплексного числа в знаменнику. Для цього необхідно чисельник і зна­менник помножити на спряжене значення знаменника:

5) Піднесення комплексного числа до степеня

4.9.2. Символічне (комплексне) відображення синусоїдних величин

В параграфі (4.2) було розглянуто векторне відображення синусоїдної ве­личини (4.9) з зображенням її вектором на площині х-о-у (рис. 4.26, а). Замінивши декартову систему координат х-о-у комплексною площиною (+1)-0-(+j) (рис. 4.26,б), можемо за аналогією до формули векторного відображення (4.9):

з

Рис. 4.26 Зображення вектора на площині Х-О-Y (а) та зображення комплексного числа на площині +1-0-+j (б)

аписати формулу символічного (ком­плексного) відображення синусоїдної величини, яка буде мати такий вигляд:

(4.50)

де знак чи означає "відповідає", "відображає", а

П риклад 4.3. Розглянемо декілька прикладів переходу від миттєвого зна­чення синусоїдної величини до комплексного її відображення, і навпаки.

Рис. 4.27 До виведення закону Ома в комплексній формі

Зворотний перехід:

4.9.3. Закони Ома та Кірхгофа в комплексній формі. Комплексні опори та провідності

До кола з послідовним сполученням елементів r, L, С (рис. 4.27, ) прикладена синусоїдна напруга, яка викличе си­нусоїдний струм, їх комп­лексні відображення бу­дуть та :

(4.51)

Для замкнутого контуру за другим законом Кірхгофа запишемо рівняння для миттєвих значень напруг:

(4.52)

або в комплексній формі, відобразивши синусоїдні величини комплек­сними величинами:

(4.53)

де – збігається за фазою зі струмом;

– випереджає струм на 90°;

– відстає від струму на 90°.

Підставляючи ці значення в рівняння (4.53), одержимо:

звідки

(4.54)

Рівність (4.54) називають законом Ома в символічній (чи комплексній)формі.

Опір

(4.55)

називається комплексним повним опором схеми, позначається великою літерою з рискою знизу.

При відомих комплексних значеннях струму й напруги комплексний опір визначається як:

(4.56)

де

(4.57)

Якщо , то і являє собою індуктивний опір ( ); якщо ( , то і є ємнісним опором ( ); і якщо = 0, то х = 0.

На рис. 4.27,б зображена векторна діаграма в комплексній площині для кола (рис. 4.27, ). Надалі векторні діаграми будемо рисувати в комплексній площині для комплексних діючих значень напруг та струмів

Необхідно звернути увагу на те, що дійсною частиною комплексного опору є резистивний опір, а уявною частиною – реактивний опір.

(4.58)

Символи Re – від французьких слів realiser – дійсний, a Im – imaginer – уявний.

Величина, зворотна комплексному опорові, називається комплексною провідністю:

(4.59)

Як видно з (4.59), дійсною частиною комплексної провідності є активна провідність, а уявною – реактивна провідність взята із протилежним знаком:

(4.60)

Величину – називають повною провідністю кола.

Ураховуючи (4.59), закон Ома в комплексній формі може бути записаний ще так:

(4.61)

Закони Кірхгофа справедливі для кіл постійного струму, а для миттєвих значень струмів, ЕРС і напруг змінного струму матимуть такий вигляд:

чи

В електричних колах синусоїдного струму можна додавати діючі (або амплітудні) значення струмів, ЕРС і напруг, але у векторній формі, тобто дода­вати геометрично, і тому закони Кірхгофа для кіл синусоїдного струму у век­торній формі запишуться так:

(4.62)

Ця операція аналогічно виконується і комплексними числами. Тому зако­ни Кірхгофа у комплексній формі запишуться так:

(4.63)

Складаючи рівняння для електричних схем згідно з (4.63), необхідно попередньо вибрати додатні напрямки струмів у вітках, додатні напрямки ЕРС та напруг на елементах (r, l, С) схеми, та додатні напрямки обходу контурів – аналогічно, як в колах постійного струму.