- •Програма курсу “теоретичні основи електротехніки” (частина і)
- •1. Електричні кола постійного струму
- •1.1. Елементарні електричні заряди й електромагнітне поле як особливий вид матерії
- •1.2. Електростатичне поле. Напруженість поля
- •1.3. Зв'язок зарядів тіл з їх електричним полем. Теорема Гаусса. Постулат Максвелла
- •Значення ε для деяких діелектриків
- •1.4. Електрична напруга. Потенціал, різниця потенціалів. Електрорушійна сила
- •1.5. Електричний струм і принцип його неперервності
- •1.6. Опір провідника. Питомий опір. Провідність. Питома провідність
- •Значення ρ, γ і α деяких провідникових матеріалів
- •1.7. Енергія та потужність в електричному колі.
- •1.8. Провідники, напівпровідники та діелектрики.
- •Електрична міцність деяких ізоляційних матеріалів
- •1.9. Елементи електричних кіл
- •1.25. Двополюсники, чотириполюсники та багатополюсники електричних кіл
- •1.10. Основні закони електричних кіл
- •1.11. Еквівалентне перетворення опорів
- •1.11.1. Послідовне сполучення резисторів
- •1.11.2. Паралельне сполучення резисторів
- •1.11.3. Змішане сполучення резисторів
- •1 .11.4. Взаємне еквівалентне перетворення резисторів, сполучених трикутником та зіркою
- •1.12. Методи розрахунку електричних кіл постійного струму
- •1.12.1. Метод перетворення
- •1.12.2. Метод рівнянь Кірхгофа
- •1.12.3. Метод контурних струмів
- •1.12.4. Метод вузлових напруг
- •1.12.4.1. Заміна декількох паралельних віток з джерелами ерс, одною еквівалентною віткою
- •1.12.5. Метод накладання
- •1.12.6. Метод еквівалентного генератора
- •1.13. Пересилання електроенергії постійного струму по двопровідній лінії
- •1.14. Нелінійні кола постійного струму
- •1.14.1. Загальні визначення. Статичний та динамічний опори нелінійних елементів
- •1.14.2. Графоаналітичний метод розрахунку нелінійних кіл
- •1.14.3. Аналітичний метод розрахунку нелінійних кіл
- •2. Електрична ємність
- •2.1. Електрична ємність тіл
- •2.2. Конденсатори. Струм конденсатора. Енергія електричного поля
- •2.3. Послідовне і паралельне з'єднання конденсаторів
- •3. Магнітні кола
- •3.1. Основні фізичні величини магнітного поля
- •3.1.2. Магнітний потік (ф)
- •3.1.3. Намагніченість речовин (j). Напруженість магнітного поля (h). Магнітна проникність (μ)
- •3.2. Закон повного струму
- •3.3. Феромагнітні матеріали
- •3.3.1. Деякі властивості феромагнітних матеріалів
- •3.3.2. Класифікація феромагнітних матеріалів.
- •3.4. Основні закони магнітних кіл. Розрахунок магнітного кола
- •3.5. Закон електромагнітної індукції. Правило Ленца
- •3.6. Котушка індуктивності. Потокозчеплення. Ерс самоіндукції. Енергія магнітного поля.
- •3.7. Індуктивно зв'язані котушки
- •4. Електричні кола змінного синусоїдного струму
- •Генерування синусоїдної ерс. Миттєві, амплітудні, діючі та середні значення ерс, напруг та струмів
- •4.2. Векторне відображення синусоїдних величин. Векторні діаграми
- •4.3. Резистивний, індуктивний та ємнісний опори в колі синусоїдного струму
- •4.4. Послідовне з'єднання резистивного, індуктивного та ємнісного опорів у колі синусоїдного струму. Закон Ома в класичній формі. Трикутник опорів. Коефіцієнт потужності cos φ
- •4.5. Потужність в колі послідовного з'єднання резистивного r і реактивного X опорів
- •4.6. Паралельне з'єднання приймачів у колі змінного струму
- •4.7. Мішане сполучення приймачів
- •4 Рис. 4.18. До визначення резонансу в електричному колі .8. Резонанс в електричних колах
- •4.8.1. Резонанс у колі з послідовним сполученням елементів r, l, с (резонанс напруг)
- •4.8.2. Резонанс у колі з паралельним сполученням елементів r, l, с (резонанс струмів)
- •4.9. Символічний метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму
- •Деякі положення комплексного числення
- •4) Ділення комплексних чисел
- •5) Піднесення комплексного числа до степеня
- •4.9.2. Символічне (комплексне) відображення синусоїдних величин
- •4.9.3. Закони Ома та Кірхгофа в комплексній формі. Комплексні опори та провідності
- •4.9.4. Комплексна потужність
- •4.9.5. Методи розрахунку електричних кіл змінного струму
- •4.9.6. Кола з взаємоіндуктивно зв'язаними котушками
- •Основна література:
- •Додаткова література:
- •Контрольні завдання Завдання 1. Розрахунок складного лінійного кола постійного струму
- •1.2.Зміст роботи:
- •1.4. Методичні вказівки:
- •Завдання 2. Розгалужене коло синусоїдального струму
- •2.2. Зміст роботи:
- •2.4. Приклад виконання завдання 2:
- •Питання до екзамену
4.8.2. Резонанс у колі з паралельним сполученням елементів r, l, с (резонанс струмів)
Спочатку розглянемо паралельне сполучення ідеальних елементів r, L, C (рис. 4.21,а). Із умови резонансу маємо:
або , чи |
(4.46) |
З останнього виразу резонансна частота визначається так само, як і при резонансі напруг. Досягти умови резонансу можна зміною значень ω, L чи С.
При резонансі струмів загальна провідність схеми у дорівнює активній провідності g, отже, досягає найменшого значення: . Загальний струм І = yU = gU теж буде мати найменше значення, а струми , залежно від значень bL та bC, можуть досягти як завгодно великих значень, що набагато перевищують значення струму в нерозгалуженій частині кола. Збільшення діючих значень струмів у схемі при резонансі в паралельно сполучених вітках зумовило назву – резонанс струмів.
Рис.
4.21. Паралельне сполучення r-L-C(a),
векторна
діаграма при резонансі струмів (б)
Рис.
4.22. Залежності Іr
IL,
ІC,
І, φ
від
частоти для схеми (рис. 4.21)
На рис. 4.22 наведені графіки залежностей Ir, IL, ІC, І, φ від частоти ƒ для схеми (рис. 4.21,а). Струм в індуктивності зворотно пропорційний частоті IL = U/(2πfL), а струм в конденсаторі прямо пропорційний частоті Іс= U∙2πfC. Струм в колі з активним опором не залежить від частоти Ir=U/r. Значення загального струму, як видно із векторної діаграми, дорівнює .
Якщо
Якщо .
Якщо .
Резонанс струмів у колі з реальними елементами (рис. 4.23,a). Із визначення маємо: b = 0, b = bL – bС = 0 чи bL = bc, або з урахуванням (4.40), одержимо:
|
(4.47) |
З а цієї умови (4.47) в схемі (рис. 4.23,а) настає резонанс струмів. На рис. 4.23,б зображена векторна діаграма, що відповідає цьому режиму роботи. Реактивні складові струмів обох віток однакові ( ), а загальний струм збігається за фазою з напругою.
Я
Рис.
4.23. Паралельне з'єднання реальних
елементів L
та
С (а) і векторна діаграма при резонансі
(б)
4.9. Символічний метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму
Застосування векторних діаграм (п.п. 4.6-4.7) для розрахунку кіл змінного струму дає змогу досягти наочності та спростити сам розрахунок. Однак векторні діаграми не завжди дають достатню точність і не завжди дають змогу одержати загальний розв'язок задачі. Значним кроком вперед порівняно з векторними діаграмами є введення в теорію змінних струмів Штейнмецом символічного методу, основаного на відображенні векторів комплексними числами. Цей метод дає змогу звести геометричні операції над векторами до алгебричних операцій над комплексними числами.
Деякі положення комплексного числення
Я
Рис. 4.24 Зображення
комплексного числа на площині (а),
складання двох комплексних чисел (б),
множення двох комплексних чисел (в)
Виразивши а і b через модуль (довжину вектора) і кут , можна записати комплексне число в тригонометричній формі, а застосувавши формулу Ейлера, комплексне число можна записати в показниковій формі:
|
(4.48) |
де a +jb – алгебрична,
– тригонометрична,
– показникова форма запису комплексного числа;
– модуль комплексного числа;
– аргумент комплексного числа; – на комплексній площині відкладається від осі абсцис проти годинникової стрілки, якщо > 0; та за годинниковою стрілкою – якщо < 0; e – основа натурального логарифма.
Формула Ейлера показує зв'язок між показниковим та тригонометричним виразами комплексного числа:
|
(4.49) |
і дає змогу переходити від однієї форми запису комплексного числа до іншої.
Розглянемо основні геометричні операції над векторами й алгебричні дії над комплексними числами, які їх відображають.
1) Спряжені комплексні числа і мають однакові модулі й однакові, але протилежні за знаком аргументи. Спряжені комплексні числа є дзеркальним відображенням один одного відносно осі дійсних чисел (рис. 4.25,а).
2 ) Додавання чи віднімання двох (або більше) комплексних чисел можна провести аналітично:
або графічно за правилом складання векторів (рис. 4.24,б).
3
Рис.
4.25 Спряжені комплексні числа (а) та
піднесення jn
(б)
Вектор комплексу добутку двох векторів має довжину, що дорівнює добутку модулів, а аргумент а дорівнює алгебричній сумі аргументів множників (рис. 4.24,в).
Або в алгебричній формі:
Якщо комплексне число помножити на , то нове комплексне число буде мати цей самий модуль А, але повернутий на кут проти стрілки годинника, якщо > 0, і за стрілкою годинника – якщо < 0. Часто множник називають оператором повороту.
Ураховуючи оператор повороту , згідно з рис. 4.25,б або за формулою Ейлера, можна підрахувати :
і т.д.