Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TOE_kniga_chast1.doc
Скачиваний:
35
Добавлен:
18.11.2019
Размер:
45.68 Mб
Скачать

4.8.2. Резонанс у колі з паралельним сполученням елементів r, l, с (резонанс струмів)

Спочатку розглянемо паралельне сполучення ідеальних елементів r, L, C (рис. 4.21,а). Із умови резонансу маємо:

або , чи

(4.46)

З останнього виразу резонансна частота визначається так само, як і при резонансі напруг. Досягти умови резонансу можна зміною зна­чень ω, L чи С.

При резонансі струмів загальна провідність схеми у дорівнює активній провідності g, отже, досягає найменшого значення: . За­гальний струм І = yU = gU теж буде мати найменше значення, а струми , залежно від значень bL та bC, можуть досягти як завгодно великих значень, що набагато перевищують значення струму в нерозгалуженій частині кола. Збільшення діючих значень струмів у схемі при резонансі в паралельно сполучених вітках зумовило назву ­– резонанс струмів.

Рис. 4.21. Паралельне сполучення r-L-C(a), векторна діаграма при резонансі струмів (б)

Рис. 4.22. Залежності Іr IL, ІC, І, φ від частоти для схеми (рис. 4.21)

На рис. 4.22 наведені графіки залежностей Ir, IL, ІC, І, φ від частоти ƒ для схеми (рис. 4.21,а). Струм в індуктивності зворотно пропорційний частоті IL = U/(2πfL), а струм в конденсаторі прямо пропорційний частоті Іс= U∙2πfC. Струм в колі з активним опором не залежить від частоти Ir=U/r. Значення загального струму, як видно із векторної діаграми, дорівнює .

Якщо

Якщо .

Якщо .

Резонанс струмів у колі з реальними елементами (рис. 4.23,a). Із визначення маємо: b = 0, b = bL bС = 0 чи bL = bc, або з урахуванням (4.40), одержимо:

(4.47)

З а цієї умови (4.47) в схемі (рис. 4.23,а) настає резонанс струмів. На рис. 4.23,б зображена векторна діаграма, що відповідає цьому режи­му роботи. Реактивні складові стру­мів обох віток однакові ( ), а загальний струм збігається за фазою з напругою.

Я

Рис. 4.23. Паралельне з'єднання реальних елементів L та С (а) і векторна діаграма при резонансі (б)

вище резонансу струмів або близьке до цього режиму широко ви­користовується в силових електроенергетичних установках для підвищення коефіцієнта потужності cos φ промислових підприємств.

4.9. Символічний метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму

Застосування векторних діаграм (п.п. 4.6-4.7) для розрахунку кіл змін­ного струму дає змогу досягти наочності та спростити сам розрахунок. Однак векторні діаграми не завжди дають достатню точність і не завжди дають змогу одержати загальний розв'язок задачі. Значним кроком вперед порівняно з век­торними діаграмами є введення в теорію змінних струмів Штейнмецом симво­лічного методу, основаного на відображенні векторів комплексними числами. Цей метод дає змогу звести геометричні операції над векторами до алгебрич­них операцій над комплексними числами.

      1. Деякі положення комплексного числення

Я

Рис. 4.24 Зображення комплексного числа на площині (а), складання двох комплексних чисел (б), множення двох комплексних чисел (в)

к відомо з курсу математики, комплексне число А = а + jb має дві складові: дійсну а та уявну b, які є координатами точки на комплексній пло­щині (рис. 4.24,а). Комплексна площина є прямокутною системою координат, по осі абсцис, яку називають віссю дійсних чисел (+1) – (-1), відкладають дійсну частину комплексного числа а, а по осі ординат – яку називають віссю уявних чисел (+j) – (–j), відкладають уявну частину комплексного числа b, . Комплексне число будемо позначати великою літерою з крапкою зверху. Комплексне число може бути зображене вектором, довжина якого є модулем комплексного числа, а положення визначається кутом (аргументом) а відносно додатного напряму дійсної осі комплексної площини.

Виразивши а і b через модуль (довжину вектора) і кут , можна записати комплексне число в тригонометричній формі, а застосувавши формулу Ейлера, комплексне число можна записати в показниковій формі:

(4.48)

де a +jb – алгебрична,

– тригонометрична,

– показникова форма запису комплексного числа;

– модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа; – на комплексній площині відкладається від осі абсцис проти годинникової стрілки, якщо > 0; та за годинниковою стрілкою – якщо < 0; eоснова натурального логарифма.

Формула Ейлера показує зв'язок між показниковим та тригонометричним виразами комплексного числа:

(4.49)

і дає змогу переходити від однієї форми запису комплексного числа до іншої.

Розглянемо основні геометричні операції над векторами й алгебричні дії над комплексними числами, які їх відображають.

1) Спряжені комплексні числа і мають однакові модулі й однакові, але протилежні за знаком аргументи. Спряжені комплексні числа є дзеркальним відображенням один одного відносно осі дійсних чи­сел (рис. 4.25,а).

2 ) Додавання чи віднімання двох (або більше) комплексних чисел можна провести аналітично:

або графічно за правилом складання векторів (рис. 4.24,б).

3

Рис. 4.25 Спряжені комплексні числа (а) та піднесення jn (б)

) Добуток двох комплексних чисел, які відображають два вектори є комплексне число, якому відповідає вектор :

Вектор комплексу добутку двох векторів має довжину, що дорівнює добутку модулів, а аргумент а дорівнює алгебричній сумі аргументів множників (рис. 4.24,в).

Або в алгебричній формі:

Якщо комплексне число помножити на , то нове комплексне число буде мати цей самий модуль А, але повернутий на кут проти стрілки годинника, якщо > 0, і за стрілкою годинника – якщо < 0. Часто множник називають оператором повороту.

Ураховуючи оператор повороту , згідно з рис. 4.25,б або за формулою Ейлера, можна підрахувати :

і т.д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]