1.12.4. Метод вузлових напруг

За методом вузлових напруг кількість рівнянь можна скоротити до (q – 1). Отже, метод вузлових напруг (його ще називають метод вузлових по­тенціалів) найраціональніше використовувати для електричних схем з малою кількістю вузлів, а метод контурних струмів – з малою кількістю контурів (чи віток).

Покажемо суть цього методу (рис. 1.43,a). Уявно один вузол схеми завжди можна заземлити, від цього розподіл струмів у вітках не зміниться. Потенціал заземленого вузла стане дорівнювати нулеві. Заземливши четвер­тий вузол, отримаємо: . Тоді напруги між вузлами будуть дорів­нювати:

1-4:

2-4:

3-4:

Як видно з останніх виразів, вузлові напруги (U_B1, U_B2, U_B3) дорівнюють відповідним потенціалам вузлів ( ), тому пропонований спосіб розра­хунку ще називають методом вузлових потенціалів.

В иразимо струми віток схеми через вузлові напруги. Для цього виділимо одну вітку схеми, наприклад третю (рис. 1.43,б), і виразимо її струм I₃ через відповідні напруги. За другим законом Кірхгора ( ) для замкненого кон­туру маємо:

Рис. 1.43. До методу вузлових напруг

, чи , звідкіля

Аналогічно, обходячи контури за напрямом струмів віток і по вузлових напругах, одержимо значення інших струмів:

………..

(1.79)

За першим законом Кірхгофа запишемо рівняння струмів для вузла №1:

I₁+I₂–I₃+I₆=0

В останнє рівняння підставимо значення струмів (1.79), виражених через вузлові напруги:

Після згрупування подібних членів останнє рівняння запишеться так:

	(1.80a)
	(1.80б)
	(1.80в)

Отже, ліва частина рівнянь (1.80) записується так: вузлова напруга вузла U_Bm множиться на суму провідностей віток, які приєднані до т-го вузла, мінус вузлова напруга сусіднього вузла (U_Bk) помноженої на суму провідностей віток, що безпосередньо з'єднують m-й та k-й вузли, мінус U_B(k+1) і т.д.

Права частина кожного із рівнянь (1.80) дорівнює алгебричній сумі добутків ЕРС кожної вітки, приєднаної до розглянутого вузла, на її провідність. Добуток Eg записується з додатним знаком, якщо ЕРС напрямлена до вузла, для якого записується рівняння, та з від'ємним – якщо ЕРС напрямлена від вузла.

Введемо такі позначення:

G₁₁=g₁+ g₂+ g₃+ g₆= ;

G₂₂=g₃+ g₄+ g₅+ g₆= ;

G₃₃=g₄+ g₅+ g₇= – це сума провідностей віток, приєднаних відповідно до 1-го, 2-го та 3-го вузлів.

, – це сума провідностей віток, які з’єднують 1 і 2 та 2 і 3 вузли. Тоді рівняння (1.80) з врахуванням наведених позначень запишуться так:

(1.80)

Або в загальному вигляді для схеми, яка має g вузлів, рівнянь буде (q – 1):

(1.81)

Кількість невідомих у методі вузлових напруг дорівнює кількості рів­нянь, які треба скласти для схеми за першим законом Кірхгофа (q-1). Метод вузлових напруг, як і метод контурних струмів, є одним із основних розрахункових прийомів. В тому випадку, коли (q-1) < n, цей метод є більш економічний, ніж метод контурних струмів, n – кількість незалежних контурів схеми.

Послідовність проведення розрахунку. Для схеми визначаємо q, р, n. Один із вузлів схеми подумки заземлюємо (нехай його потенціал дорівнює нулеві). Позначимо вузлові напруги на схемі, їх будемо мати (q – 1). Згідно з (1.81) складаємо систему (q- 1) рівнянь, відносно вузлових напруг U_B1, U_B2..., U_B(q-1). Розв’язавши цю систему рівнянь, одержуємо числові значення вузлових напруг U_B1, U_B2, U_B(q-1). Позначаємо струми у вітках і за законом Ома аналогічно (1.79), обходимо контури за напрямом струму вітки й за вузловими напругами – визначаємо струми віток схеми.

З астереження. Коли у вітці схеми увімкнене ідеальне джерело ЕРС (без внутрішнього опору) і сама вітка теж немає опору, то тоді за базисний вузол ( = 0) бажано вибирати один із вузлів, до якого приєднана ця вітка. У против­ному разі одне із рівнянь (1.81) перетворюється у невизначеність й потрібно буде її находити, що наочно буде видно із наведеного нижче прикладу.

Приклад 1.4. За методом вузлових напруг визначити струми в схемі, зображеній на рис. 1.44. Параметри схеми такі:

E

Рис. 1.44. Розрахунок електричного кола методом вузлових напруг

₁ = 100 В; Е₂ = 50 В; Е₃ = 50 В; r₂ = 10 Ом; r₃ = 5 Ом; r₄ = r₅ = 20 Ом

Розв'язання. Для схеми маємо р = 5, q = З, п = 3, отже q-1< п, що доцільно задачу розв'язувати за методом вузлових напруг. Опір першої вітки дорівнює нулеві, тому за базисний вузол (потенціал якого буде дорівнювати нулеві) бажано взяти ву­зол "1" або "3". Приймаємо = 0. Позна­чимо вузлові напруги U_B1 та U_B2 і складемо систему двох рівнянь [(q – 1) = 3 – 1= 2]:

1. U_B1–E₁=0

2. 

Підставимо числові значення

1. U_B1-100=0

2. 

Розв'язавши ці рівняння, одержимо U_B1= 100 В, U_B2= 33,33 В. Тоді струми віток:

;

;

Струм І₁ знаходимо за першим законом Кірхгофа для вузла "1":

I₁+I₂–I₅=0, звідки, I₁=I₅–I₂=3,33–(–5)=8,33 А

Перевіримо за другим законом Кірхгофа для другої вітки:

U_BI + U₂–E₂= 0 => 100 + (– 5)10 – 50 = 0. Тотожність зберігається, що підтверджує правильність розв'язування задачі.