1.12.3. Метод контурних струмів

Метод рівнянь Кірхгофа, хоча й простий за складанням самої системи рівнянь, але громіздкий за обчислювальною роботою – вимагає розв'язання системи із великої кількості (р) рівнянь. Запропонований Дж. К. Максвеллом метод контурних струмів для розрахунку електричних кіл з постійними параметрами зводиться до роз­в'язання системи тільки з "n" рівнянь. В цьому методі вводяться нові невідомі, контурні струми. Кількість їх дорівнює кількості лінійно незалежних кон­турів схеми (n). Метод контурних струмів більш економічний за обчислю­вальною роботою (має меншу кількість рівнянь), ніж метод рівнянь Кірхгофа.

Виведення основних розрахункових рівнянь наведемо на основі скелет­ної схеми, зображеної на рис. 1.42.

Контурні струми за значенням вибираємо такими, щоби струм в будь-якій вітці схеми визначався алгебричною сумою контурних струмів, які проті­кають через цю вітку. Для схеми рис. 1.42. струми віток будуть такими:

I1 =Iк1, I2 = IK2, I3=Ik3, …, I7=Ik6– Iк1, I10=Ik1–Ik2,…

(1.74)

д е I_к1, I_K2 ,…, I_k6 – контурні струми.

Розпочинаючи складання рівнянь для кола з п лінійно незалежними конту­рами, задаємось довільно додатними на­прямками контурних струмів у всіх кон­турах, і домовимось за додатний напрям обходу контуру вибирати напрям, який збігається з його контурним струмом.

Д

Рис. 1.42. До методу контурних струмів

ля першого контуру запишемо рів­няння за другим законом Кірхгофа ( ):

r1I1+r10I10–r7I7=E11,

(1.75)

де E₁₁ – сума всіх ЕРС, які входять в перший контур. Визначаючи цю суму, EРС, напрям яких збігається з напрямом обходу контуру, треба брати зі знаком ''плюс", а ті, що не збігається – зі знаком "мінус".

Підставивши (1.74) в (1.75) і звівши подібні члени, одержимо рівняння для першого контуру, виражене через контурні струми:

1) (r1+r10+r7)Ik1–r10IK2–r7Ik6=E11

(1.76)

Введемо позначення: r_kk – сума всіх опорів, які входять в к-й контур його називають власним опором k-го контуру; r_km = r_mk – сума всіх опорів у загальній (спільній) вітці k-го й т-го контуру, його називають взаємним опором k-го та m-го контурів.

Простежимо послідовність складання рівняння (1.76) безпосередньо за схемою: перший доданок (r₁+r₁₀+r₇)I_k1 є сумою спадів напруг на власних опорах першого контуру, які виникають під дією першого контурного струму I_К1; другий доданок (-r₁₀I_k2) ураховує спад напруг на спільному опорі першого та другого контурів, і викликаного струмом другого контуру, а знак «мінус» ураховує, що струми I_К2 та I_k1 в опорі r₁₀ спрямовані зустрічне; третій доданок ураховує спад напруг на опорі r₇, викликаний струмом I_K6­(-r₇I_K6) а знак «мінус» ураховує, що струми I_K6 та I_K1 в опорі r₇ теж напрямлені зустрічне.

Отже, рівняння для останніх контурів схеми (рис. 1.42) можуть бути записані аналогічно рівнянню (1.76):

2) (r2+r11+r8+r10)IK2– r10 IK1–r11IK3–r8IK5=E22 3) (r6+r7+r12)IK6–r7IK1– r12IK5=E55 k) ………………………………………………………..

(1.77)

Систему рівнянь (1.76-1.77) можна записати в загальному вигляді для будь-якої схеми, яка має п контурів:

(1.78)

У системі рівнянь (1.78) за додатний напрям обходу к-ro контуру прийнято його контурний струм I_Km, тому складові (r₁₁I_K1, r₂₂I_K2, …, r_nnI_Kn) матимуть знак "плюс". Якщо всі контурні струми кола напрямлені однаково (за годинниковою стрілкою чи проти, а так рекомендується спрямовувати), то останні складові r_msI_ks ( ) в системі рівнянь (1.78) виступатимуть із знаком "мінус", тому що контурний струм I_ks в опорі r_ms завжди буде напрямлений зустрічне контурному струму I_km, напрям якого вибрано за додатний напрям обходу m-го контуру.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо q, p, п; 2) вибираємо додатні напрями контурних струмів і записуємо для них систему з п рівнянь (1.78); 3) розв'язуємо цю систему рів­нянь і знаходимо числові значення контурних струмів:I_k1, I_k2,…, I_kn, 4) позна­чаємо умовно додатні напрямки струмів у вітках схеми та знаходимо їх як алгебричну суму контурних струмів, що протікають через цю вітку; 5) переві­ряємо правильність розв'язання задачі за другим законом Кірхгофа для контурів схеми.

Приклад 1.3. Застосування методу контурних струмів для розрахунку струмів у електричному колі з постійними параметрами покажемо на схемі, зображеній на рис. 1.41. Схема має чотири контури (n = 4), а отже, і чотири контурні струми. Додатні напрями контурних струмів за годинниковою стрілкою. Система рівнянь, складених для контурних струмів, згідно із (1.78), буде такою:

1. (r₁+r₀₁+r₂+r₀₂)I_k1–(r₂+r₀₂)I_k2=E₁–E₂

2. (r₂+r₀₂+r₄+r₅+r₀₅)I_k2–(r₂+r₀₂)I_k1–r₄I_k3=E₂–E₅

3. (r₃+r₆+r₄)I_k3–r₄I_k2–r₆I_k4=0

4. (r₆+r₇+r₀₇)I_k4–r₆I_k3= –E₇

Підставимо числові дані величин r₀, r, E:

1. (18 + 2 + 9 + l)I_kl – (9 + 1)I_k2 = 50 – 20;

2. (9 + 1 + 40 + 48 + 2)I_k2 – (9 + 1)I_k1 – 40I_k3 = 20 – 100;

3. (39 + 30 + 40)I_k3 – 40I_k2 – 30I_k4 = 0;

4. (30 + 50 + 0)I_k4 – 30I_K3 = – 50.

Розв'язавши цю систему рівнянь відносно значень контурних струмів I_k1…I_k4, отримаємо:

I_k1=0,608 A; I_k2=-1,176 A; I_k3=-1,091 A; I_k4=-2,068 A;

Позначимо додатні напрямки струмів у вітках схеми й визначимо їх значення через контурні струми:

I₁= I_k1=0,608 A; I₂=I_k2–I_k1=-1,176–0,608 Ф=-1,784;

I₃=I_k3=-1,091 А; I₄=I_k2–I_k3=-1,176–(-1,091)=-0,085 А;

I₅=I_k2=-1,176А; I₆=I_k4–I_k3=-2,068–(–1,091)=-0,977 А;

I₇= –I_k1= –(–2,068)=2,068 A.

Перевірка. За другим законом Кірхгофа ( ) проведемо перевірку для будь-яких контурів, наприклад, для першого та четвертого.

(r₁+r₀₁)I₁–(r₂+r₀₂₁)I₂=E₁–E₂ і в цифрах:

(18+2) 0,608–(9+1) (-1,784)=50-20, чи 12,16+17,84=30.

R₆I₆-(r₇+r₀₇)I₇=-E₇ і в цифрах:

-0,977 30-2,068 (10+0)=-50 чи -50,011=-50