1.12.2. Метод рівнянь Кірхгофа

В цьому методі розглядаються складні електричні кола, особливо такі, в яких діють дві або більше ЕРС, увімкнені у різні вітки схеми. Розв'язання та­ких задач методом перетворення достатньо складне, а в деяких випадках, й неможливе. Пропонований нижче метод рівнянь Кірхгофа дає змогу розв'язувати як завгодно складні електричні схеми без їх трансфігурацій.

Н

Рис. 1.39. Визначення q, р, п електричного кола

p = 13

q = 8

n = 6

ехай складне коло складається з р віток, має q вузлів (рис. 1.39) і кількість контурів n = р – (q – 1). Як правило, для електричних схем відомі параметри віток – їх опори, та значення і напрямки діючих в схемі ЕРС. Розрахунок буде зводитися до розрахунку значень струмів у вітках схеми, хоча завдання може ставитися й по-іншому.

Оскільки схема має р віток, то невідомих струмів у схемі буде теж p і для їх розрахунку треба скласти p рівнянь.

За першим законом Кірхгофа (I= 0) можемо скласти q–1 лінійно неза­лежних рівнянь (на одиницю менше ніж вузлів). Застосовуючи другий закон Кірхгофа , можна скласти стільки рівнянь, скільки лінійно незалежних замкнутих контурів (n) має схема. Для незалежності рівнянь або, як кажуть, для незалежності контурів, ці конту­ри необхідно вибирати так, щоб кожен наступний контур відрізнявся від по­передніх, принаймні однією новою віткою. Ця умова є достатньою, але не зав­жди необхідною. Наприклад, якщо розглянути схеми (рис. 1.40) і вибирати контури в такій послідовності, як показано на схемах, то всі вітки для контурів: 3-у схемі (а), 4-у схемі (б) та 5 – у схемі (в) вже увійшли в рівняння попе­редніх контурів, але кількість рівнянь для контурів цих схем ще буде недос­татньою. В таких випадках недостатню кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа складають для контурів, всі вітки яких уже увійшли в попередні кон­тури. Отже, критерієм визначення кількості лінійно незалежних контурів є співвідношення n = р – (q – 1).

p=4

q=2

n=3

p=9

q=6

n=4

p=12

q=8

n=5

Рис. 1.40. До визначення кількості незалежних контурів схеми п

Отже, за законами Кірхгофа можна скласти (q – 1)+(q – 1)+p – (q–1) = р рівнянь. А це означає, що кількість рівнянь буде дорівнювати кількості невідо­мих струмів (р) у вітках схеми. Розв'язавши сумісно ці рівняння, одержимо числові значення струмів віток схеми.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо кількість вузлів (q), віток (р) і контурів (n); 2) вибираємо умовно-додатні напрямки струмів у вітках схеми (довільно); 3) за першим за­коном Кірхгофа складаємо

(q – 1) рівнянь, а за другим законом n рівнянь; реко­мендується для всіх контурів вибирати однакові додатні напрямки їх обходу, наприклад, всі за годинниковою стрілкою (чи проти); 4) сумісно розв'язуємо складену систему рівнянь і одержуємо числові значення струмів віток.

Якщо в результаті розрахунку кола які-небудь струми будуть виражені від'ємними числами, то це означає, що напрям руху додатних зарядів спрямо­вані протилежно вибраним умовно-додатним напрямам струмів цих віток. Напрямлення стрілок струмів цих віток змінювати не треба.

Розрахунок електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа є основним. За допомогою цього методу можна розрахувати будь-яке електричне коло. Однак цей метод громіздкий, тому що вимагає розв'язування системи з кількістю рівнянь, що дорівнює кількості віток кола. Всі інші методи, які застосовуються для розрахунку електричних кіл, базуються на законі Ома і законах Кірхгофа.

Баланс потужності в електричному колі. В § 1.9 формулою (1.49) був виражений баланс потужності в електричній схемі, яка складалась з послідов­ного сполучення Е, r₀ та R₁₁. Якщо електричне схема має р віток, в кожній вітці є резистивний опір r, джерело ЕРС Е з внутрішнім опором r₀, то баланс потужності в такій схемі визначається виразом:

(1.73)

д

Рис 1.41. До розрахунку електричного кола за методами рівнянь Кірхгофа та контурними струмами.

е Е_КІ_К – потужність генератора (джерела електроенергії) k-і вітки; r_0kI_k² – потужність, яка витрачається на внутрішньому опорі самого генератора; r_kI_k² – потужність, яка виділяється в опорі r_к k-ї вітки.

Компоненти Е_kІ_k можуть бути як додатними, так і від'ємними. Якщо Е_кІ_к>0 то відповідні джерела ЕРС працюють у режимі генераторів, а якщо Е_кІ_к<0 – то в режимі приймачів електричної енергії.

Розрахунок складного електричного кола за методом рівнянь Кірхгофа проілюструємо на прикладі.

Приклад 1.2. Розрахувати струми у всіх вітках електричного кола, схема якого

наведена на рис. 1.42. Параметри елементів електричного кола мають такі зна­чення:

Е = 50 В, r₀₁ = 2 Ом,

r₁ = 18 Ом, Е₂ = 20 В, r₀₂ = 1 Ом,

r₂ = 9 Ом, r₃ = 30 Ом, r₄= 40 Ом,

Е₅ = 100 В; r₀₅=2Ом, r₅ =48 Ом,

r_б=30 Ом, E₇ = 50 В, r₀₇ =0, r₇ = 10 Ом.

1. Визначимо кількість вузлів, віток і контурів: q = 4, р = 1, n = 4.

2. Довільно вибираємо і позначаємо на схемі умовно-додатні напрями струмів у вітках.

3. Складаємо q-1 = 4-1 = 3 рівняння за першим законом Кірхгофа (для вузлів 1, 2, 3), та n=4 рівняння за другим законом Кірхгофа для контурів I-IV, прийнявши додатні напрямки обходу контурів за годинниковою стрілкою:

1. –I₁–I₂+I₅=0

2. I₁+I₂–I₃–I₄=0

3. I₃+I₆+I₇=0

4. (r₁+r₁₀)I₁–(r₂+r₂₀)I_­2­=E₁–E₂

5. (r₂+r₂₀)I_­2­+r₄I₄+(r₀₅+r₅)I_­5­=E₂–E₅

6. r₃I₃–r₄I₄–r₆I₆=0

7. r₆I₆–(r₇+r₀₇)I₇= –E₇

В систему рівнянь (1 ...7) підставимо числові значення величин Е, r₀ та r.

1. –I₁–I₂+I₅=0

2. I₁+I₂–I₃–I₄=0

3. I₃+I₆+I₇=0

4. (18+2)I₁–(9+1)I₂=50-20

5. (9+1)I₂+40I₄+(48+2)I₅=20-100

6. 30I₃–30I₆–40I₄=0

7. 30I₆–(0+10)I₇=50

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо числові значення струмів віток схеми:

I₁=0,608 А; I₂ = -1,783 А; I₃ = -1,090 А; I₄ =-0,084 A; I₅ = -1,175А; I₆ = -0,977А; I₇ = 2,067 А.

Струми I₁ та I₇ (зі знаком "плюс") в електричному колі мають таке спря­мування, яке позначено на схемі, а решта струмів (зі знаком "мінус") мають в елек­тричній схемі протилежне спрямування (напрями стрілок змінювати не треба).

За формулою (1.73) складемо баланс потужностей. Потужність джерел електричної енергії:

Втрати потужності в самих джерелах електроенергії:

Потужність, яка витрачається в опорах віток схеми:

Отже, 216,671 – 6,684 = 208,987 Вт, що дорівнює потужності, яку генера­тори ЕРС виділяють в опорах схеми. Збігання числових даних підтверджує правильність розв'язання задачі.