Вопросы, выносимые на экзамен по дисциплине «Линейная алгебра»

Преподаватель: Глушко Ольга Васильевна

1. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами.. Ранг матрицы. Приведите примеры.

2. Определители второго и третьего порядков. Способы их вычислений. Приведите примеры.

4. Определители n-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения.

5. Теорема Лапласа.

6. Обратная матрица. Алгоритм вычисления.

7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Приведите примеры.

8. Теорема Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример.

9. Теорема Кронекера-Капелли.

10. Прямоугольная система координат в пространстве. Линейная зависимость векторов.

11. Векторы на плоскости. Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами в координатной форме.

12. Векторы в пространстве. Основные понятия и определения, действия над векторами, заданными своими координатами в пространстве.

13. Скалярное произведение векторов, формулы для его вычисления, свойства.

14. Векторное произведение векторов, формулы для его вычисления. Свойства векторного произведения векторов (докажите одно из них).

15. Смешанное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

16. Условие коллинеарности и компланарности векторов в пространстве (Докажите одно из них).

17. Прямая на плоскости (основные определения). Выведите уравнение прямой, проходящей через две данные точки и каноническое уравнение прямой.

18. Прямая на плоскости (основные определения). Выведите уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно данному вектору и уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

19. Прямая на плоскости. Выведите уравнение прямой в отрезках и параметрическое уравнение прямой.

20. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

21. Уравнения плоскости в пространстве (общее, в отрезках, через три точки). Выведите одно из них.

22. Уравнение прямой в пространстве (параметрическое, каноническое, через две данные точки, прямая как пересечение двух плоскостей). Выведите одно из них.

23. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве.

24. Кривые второго порядка. Эллипс, его уравнения и характеристики.

25. Кривые второго порядка. Гипербола, ее уравнения и характеристики.

26. Кривые второго порядка. Парабола, ее уравнения и характеристики.

27. Системы векторов. Базис системы векторов.

28. N–мерное линейное векторное пространство. Нормы в пространстве.

29. Отображения линейных пространств. Линейные отображения и их матрицы.

30. Линейные операторы. Собственные векторы линейных операторов.

31. Эвклидово пространство.

32. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

33. Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

34. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

35. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Муавра и Эйлера.

36. Комплексные многочлены.

37. Квадратичные формы, главные оси.

38. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

39. Системы линейных неравенств. Три основных случая решения.

40. Простейшие задачи линейной оптимизации.