Лекція 25 тертя гнучкої ланки

У техніці широко застосовуються механізми з гнучкими ланка­ми (пасові та канатні передачі, стрічкові гальма та транспортери тощо). У таких механізмах передача руху можлива лише при на­явності достатньої сили тертя між гнучкою ланкою і шківом.

Формулу, що зв'язує основні параметри передачі гнучкою ниткою, вивів 1765 р. Л. Ейлер.

Для виведення цієї формули розглянемо ковзання гнучкої нитки по нерухомому шківу (рис. 25.1,а). Тоді кінець гнучкої нитки, який при своєму русі набігатиме на шків, назвемо набіжним кінцем, а той кінець, який збігатиме зі шківа, — збіжним. Дуга , по довжині якої нитка прилягає до шківа, називається дугою обхвату, а центральний кут , що їй відповідає, — кутом обхвату.

Рис. 25.1

Нехай натяг набіжного кінця буде F₁, а збіжного F₂. Знайдемо зв'язок між цими натягами. При цьому зробимо такі спрощення. Вважатимемо, що нитка не розтягується і не чинить опору згину при набіганні і збіганні нитки. Далі припустимо, що нитка рухається зі сталою швидкістю v. Масою нитки та її відцентровими силами інерції знехтуємо.

Щоб надати гнучкій ланці рівномірного руху в бік сили F₂, необхідно подолати не тільки опір сили F₁, але й силу тертя F_f між ниткою і шківом, тобто

F₂= F₁+ F_f , (25.1)

звідки

F_f = F₂ – F₁. (25.2)

Отже, при завжди F₂ >F₁, а це значить, що при переході від точки а до точки b, де нитка набігає і збігає зі шківа, сила тертя постійно збільшується від F₁ до F₂. Для встановлення залежності між цими величинами виділимо на дузі обхвату нескінченно малий елемент нитки . Якщо на початку цього елемента — в точці с — натяг має деяке значення F, то в кінці його, як вказано раніше, він збільшується на (їр і дорівнюватиме F+dF. Нерівномірність натягу зумовлюється наявністю сил тертя між елементом нитки і шківом. Лінії дії сил F і F+dF будуть дотичними до шківа і перпендикулярними до радіусів, проведених з точки О в точки дотику с і d.

Елементарна сила тертя d F_f згідно з рівнянням (25.2) має вигляд

(25.3)

Згідно з формулою Амонтона-Кулона, сила тертя визна­чається за формулою

(25.4)

де dp — елементарна сила тиску елемента ds на шків; f — ко­ефіцієнт тертя.

Із співвідношення (25.3) і (25.4) випливає:

dF=fdp (25.5)

Позначивши через d кут, який стягується дугою сd, знахо­димо суму проекцій сил, прикладених до елемента сd, на радіус, проведений через середину дуги сd. У результаті дістанемо:

Нехтуючи нескінченно малими величинами другого порядку і враховуючи, що для малих кутів , одержуємо:

dp = Fd. (25.6)

Підставивши знайдене значення для сили dp в рівняння (25.5), дістанемо:

dF = fFd (25.7)

звідки, розділивши змінні, запишемо:

(25.8)

Інтегруючи ліву і праву частини цього рівняння, дістаємо

або

Потенціюючи цей вираз, одержуємо відому формулу Ейлера

(25.9)

з якої випливає, що сила натягу зростає із зростанням кута об­хвату  і коефіцієнта тертя f.

Легко побачити, що при сталому коефіцієнті тертя збільшення кута обхвату дає дуже швидке зро­стання сили .

Підставивши в рівняння (25.2) значення (25.9), дістанемо для сили тертя вираз

(25.10)

Сила є тією найбільшою коловою силою, яку можна пе­редати шківу. Якщо коловий опір на веденому шківі дорівнює або менший від сили , то гнучка нитка змусить шків оберта­тися. Коли ж коловий опір більший від сили , то гнучка ланка ковзатиме по шківу, не обертаючи його. Таким чином, натягне­на силами і гнучка ланка при > може передавати ве­деному шківу обертовий момент

(25.11)

де R — радіус шківа.

Формула Ейлера дає тільки наближений зв'язок між натяга­ми гілок гнучкої ланки. Тому останнім часом у технічній літературі рекомендуються також і інші методи розрахунку, які тут не наводяться.