Метод хорд

Метод дотичних на практиці досить незручний, оскільки дуже важко проводити дотичні до кривих і досягти стабільних результатів.

Рис. 6.4

Тому на практиці більшого поширення набув метод хорд, який ґрунтується на відомій теоремі про кінцевий приріст функції: якщо функція та її перша похідна безперервні, то на будь-якому інтервалі, наприклад 0—1 (рис. 6.4,а), хорда 0—1', яка стягує дугу, паралельна дотичній до кривої s = s(t) хоча б в одній точці, що лежить у середині цього інтервалу.

Тому при цьому методі на діаграмі s = s(t) замість дотичних проводять хорди 0—1', 1'—2', 2'—3',... (рис. 6.4,а), а на діаграмі V = V(t) (рис. 6.4,б) із точки P₁ — промені Р₁1", Р₁2", Р₁3" ,..., які паралельні відповідним хордам, до перетину з віссю ординат V. Відрізки 0—1", 0—2", 0—3",... у масштабі _V, отриманого за відомою формулою, визначають значення швидкостей посере­дині відповідних інтервалів часу. Для спрощення побудови діаграм відрізки 0—1", 0—2", 0—3",... відкладають посередині відповідних інтервалів часу. Точки 0, 1'", 2'", 3'",... з'єднують плавною кривою і одержують з певною точністю діаграму швидкостей V =V(t). Чим менший інтервал часу розглядається, тобто чим більше проведено хорд, тим більше наближаються до заданої кривої. Особливу увагу треба звернути на ділянку, де крива, яку диференціюють, має екстремум. У цьому місці криву треба розділити на менші ділянки (проміжки часу).

Аналогічно методом хорд будують діаграму прискорень а = а(t) (рис. 6.4, в). Порівнюючи побудовані графіки пе­реміщень, швидкостей і прискорень, між ними можна встановити такі залежності:

1) Зростанню ординат кривої, що диференціюється, відпо­відають додатні значення ординат диференціальної кривої, а зменшенню — від'ємні значення;

2) При максимумі кривої, що диференціюється, диферен­ціальна крива переходить через нуль від додатних значень орди­нат до від'ємних, а при мінімумі — від від'ємних значень орди­нат до додатних;

3) Точці перегину кривої, що диференціюється, відповідає максимум або мінімум на диференціальній кривій. Аналітитчне дослідження кінематики механізмів

Аналітичне дослідження кінематики механізмів зручно вести з використанням аналогів швидкостей і прискорень, які вперше бу­ли використані Ассуром. Це пояснюється тим, що для заданої кінематичної схеми механізму аналоги швидкостей і прискорень залежать тільки від узагальненої координати і не залежать від швидкості руху початкової ланки, тобто кінематичне досліджен­ня можна провадити суто геометричними методами. Крім цього, що дуже важливо, аналоги швидкостей і прискорень дають змогу легко порівнювати закони руху ланок, а звідси й вибрати оптимальний варіант механізму для забезпечення заданих умов роботи.

Узагальненою координатою, як правило, вибирають пе­реміщення початкової ланки (кут ₁ повороту кривошипа або лінійне переміщення s₁ повзуна).

Як відомо, швидкість будь-якої точки М ланки, що має по­ступальний рух, є першою похідною від переміщення цієї точки за часом:

(6.4)

Якщо помножити і поділити (6.4) на , одержимо

(6.5)

де , а — аналог лінійної швидкості точки М; ₁— кутова швидкість початкової ланки (кривошипа). Тоді рівняння (6.5) можна записати так:

(6.6)

Отже, аналогом швидкостей називають першу похідну від переміщень за узагальненою координатою (₁ або s₁).

Аналогічно запишемо рівняння (6.6) для кутової швидкості ланки i (обертовий рух):

(6.7)

де — аналог кутової Швидкості ланки.

Як видно з (6.6) і (6.7), аналоги швидкостей чисельно дорівнюють значенням швидкостей відповідних точок або ланок при ₁=1, а у загальному випадку є відношеннями швидкостей: Тому їх часто ще називають передаточ­ними функціями.

Таким чином, дійсні значення' швидкостей або дорів­нюють добутку кутової швидкості кривошипа на відповідні аналоги швидкостей або .

Прискорення точки М також можна виразити через аналоги прискорень, якщо продиференціювати рівняння (6.6) і (6.7). Тоді:

(6.8)

де — аналог лінійного прискорення точки М;

— аналог кутового прискорення ланки.

Значить, аналогом прискорення називають другу похідну від переміщень за узагальненою координатою.

Якщо початкова ланка обертається з постійною швидкістю (₁=const), то кутове прискорення , і залежності (6.8) можна записати так:

(6.9)

У загальному випадку рівняння швидкостей і прискорень будь-якої точки М ланки можуть бути одержані таким чином. Нехай r_M є радіусом-вектором, який визначає положення точки М. З теоретичної механіки відомо, що швидкість v_M і приско­рення а_M точки М можуть бути одержані послідовним дворазо­вим диференціюванням радіуса-вектора r_M за часом t. Маємо

(6.10)

де — аналог швидкостей точки М.

Диференціюючи вираз (6.10) за часом t, одержуємо величи­ну прискорення а_M точки М. Прискорення а_M У загальному ви­падку складається з чотирьох складових: нормального прискорен­ня, яке направлене вздовж радіуса-вектора r_M до його початку; дотичного прискорення, направленого перпендикулярно до r_M відносного релятивного прискорення, направленого вздовж r_M; коріолісова прискорення, направленого перпендикулярно до r_M.

Користуючись рівністю (6.10), одержуємо:

(6.11)

де —аналог прискорень точки М.

Аналоги кутових швидкостей і прискорень є безрозмірними величинами, аналоги лінійних швидкостей і прискорень мають розмірність довжини.

Якщо закон початкової ланки задано у вигляді функції - лінійне переміщення початкової ланки), то знайти аналоги швидкостей і прискорень можна подібним способом.