- •Медведева н.С., Моисеева ю.А., Степанов а.Г., Усикова и.В. Системы поддержки принятия решения Оптимальные методы и теория принятия решений
- •Содержание
- •2.5. Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности 60
- •2.6. Многокритериальные задачи 79
- •2.7. Динамические задачи разработки управленческого решения 86
- •2.8. Рациональные решения 101
- •2.9. Экспертные методы 107
- •Введение
- •1.Оптимальные методы
- •1.1.Методы поиска экстремумов функций
- •1.2.Учет ограничений на значения переменных
- •1.3.Использование Excel для поиска экстремумов функций
- •Лабораторная работа №1. Методы поиска экстремумов с помощью надстройки Поиск решения пакета Excel Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.Теория принятия решений
- •2.1.Основные понятия теории принятия решений
- •2.2.Математическая классификация задач разработки управленческого решения
- •2.3.Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях определенности
- •Лабораторная работа №2. Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.4.Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях риска
- •Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной
- •Лабораторная работа №3. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом сведения стохастической задачи к детерминированной Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Методы оптимизации в среднем
- •Алгоритмический метод решения задачи в условиях риска
- •Лабораторная работа №4. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска алгоритмическим методом Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Метод Монте-Карло при решении задачи в условиях риска
- •Лабораторная работа №5. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом Монте-Карло Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами
- •2.5.Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности
- •Игры с противником.
- •Лабораторная работа №6. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с противником Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Игры с природой.
- •Лабораторная работа №7. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Игры с природой с экспериментами.
- •Лабораторная работа №8. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.6.Многокритериальные задачи
- •Лабораторная работа №9. Решение многокритериальной задачи Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.7.Динамические задачи разработки управленческого решения Общая постановка динамической задачи разработки управленческого решения
- •Метод сетевого планирования
- •Методы теории массового обслуживания
- •Метод динамического программирования
- •Задача управления запасами
- •Методы вариационного исчисления и теории оптимального управления
- •Метод сведения дискретной динамической задачи к статической
- •Лабораторная работа №10. Решение дискретной задачи разработки управленческого решения методом сведения динамической задачи к статической Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.8.Рациональные решения Общий алгоритм разработки управленческого решения
- •Нереализуемые оптимальные решения
- •Разработка альтернатив для принятия рациональных решений
- •2.9.Экспертные методы Определение круга экспертов
- •Задачи, решаемые при проведении экспертизы
- •Разработка анкеты
- •Разработка методов обработки результатов
- •Проведение анкетирования, обработка и выдача результатов и принятие решения
- •Литература
- •Приложение а. Пример титульного листа отчета о выполнении лабораторной работы3.
- •Приложение б. Содержание отчетов о выполнении лабораторных работ Пример содержания отчета по лабораторной работе №2 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №3 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом сведения стохастической задачи к детерминированной»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №4 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска алгоритмическим методом»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №5 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом Монте-Карло»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №6 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с противником»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №7 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №8 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №9 «Решение многокритериальной задачи»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №10 «Решение дискретной задачи разработки управленческого решения методом сведения динамической задачи к статической»
- •Предметный указатель
1.2.Учет ограничений на значения переменных
Существенный вклад в математическую теорию экстремальных задач был внесен Л.В. Канторовичем, впервые сформулировавшим и решившим задачу, позднее получившую название задачи линейного программирования. Математическая постановка этой задачи сводится к поиску переменных, входящих в выражение линейной критериальной функции и, в общем случае, в неограниченное конечное количество дополнительных функций ограничений (тоже линейных), которые в частности могут представлять собой неравенства. Дальнейшее развитие идей Л.В. Канторовича привело к появлению теории математического программирования, расширившей класс используемых функций. Так в некоторых случаях удается решать задачи с нелинейными критериальными функциями (задачи квадратичного программирования, геометрического программирования и т. п.). Отметим, что термин программирование в данном случае используется только как название математического метода и непосредственного отношения к программированию на ЭВМ не имеет.
Рассмотрим простейшую задачу математического программирования, у которой имеется линейная целевая функция и линейные ограничения. Такая задача называется задачей линейного программирования. Будем считать, что у этой задачи имеется переменных и ограничений. Тогда целевая функция может быть записана в виде:
(1)
Если по смыслу задачи целевая функция должна обращаться в минимум, то для получения выражения (1) в ней достаточно поменять значения всех коэффициентов на противоположные ( ).
Набор ограничений может быть записан в виде:
(2)
Тогда исходными данными (параметрами задачи) являются наборы коэффициентов , , , а ее решением – значения , удовлетворяющие выражениям (1, 2). Кроме этого, в задачах, связанных с экономикой и менеджментом, обычно имеет место набор дополнительных ограничений Отметим, что параметры задачи связанны со значениями решения выражениями вида
(3)
Оптимальное решение рассматриваемой задачи линейного программирования представляет собой набор переменных, обеспечивающих максимум значения целевой функции . Отыскание этого набора представляет собой математическую задачу, которая может быть решена различными способами.
Задача линейного программирования при допускает достаточно наглядную геометрическую интерпретацию. Например, если задача поиска экстремума имеет вид
то может быть найдено ее плоскостное решение (рис. 4). Здесь ребра четырехугольника образуют область допустимых значений переменных, заданную соответствующими ограничениями. Оптимальное решение может быть найдено за счет перемещения графика целевой функции параллельно самому себе до тех пор, пока он не пройдет через точку . В этом случае оптимальное решение является единственным. Если бы целевая функция имела вид , то имело бы место бесконечное множество оптимальных решений, лежащих на отрезке .
Распространенным методом решения задачи линейного программирования является так называемый симплекс – метод. В его основе лежит так называемая симплекс-таблица, которая составляется по определенным правилам исходя из исходных данных задачи (1, 2). Доказано, что, производя последовательные преобразования этой таблицы по определенным правилам, можно получить оптимальное решение задачи линейного программирования [1].
В основе методов решения нелинейных задач с ограничениями лежит так называемый метод Лагранжа. Наличие ограничения сужает возможности отыскания экстремума. В этом случае, как правило, экстремум функции не совпадает с локальным экстремумом, определенным с помощью классического метода и называется условным. Для решения подобных задач строится специальная функция, обычно называемая функцией Лагранжа
Рис. 4. Графическая интерпретация метода линейного программирования
В отличие от обычной функции функция Лагранжа имеет дополнительно переменных по числу ограничений. Основная идея метода сводится к отысканию экстремумов функции Лагранжа ранее рассмотренным способом приравнивания к нулю частных производных. После отыскания локальных экстремумов функции Лагранжа необходимо выбрать среди них те, которые обеспечивают в зависимости от условия задачи наибольшее или наименьшее значение функции .
Набор множителей Лагранжа имеет определенный смысл, заключающийся в том, что их значение определяет величину изменения оптимального решения в зависимости от изменения соответствующего ограничения. Уравнения ограничений могут быть записаны в виде неравенств, например:
При решении таких задач приходится выполнять итеративную процедуру отыскания экстремума, задавая область допустимых значений переменных . Экстремум целевой функции может достигаться в этом случае как внутри области, так и на ее границе. Для построения области допустимых решений следует записать уравнения линий уровня целевой функции – множество точек плоскости, в которых целевая функция постоянна.
Определив направление возрастания (убывания) целевой функции, построив, например, линии уровня для разных значений , линия уровня перемещается в нужном направлении внутри области допустимых значений переменных с целью отыскания наибольшего (наименьшего) значения.