2.6.Многокритериальные задачи

Многокритериальная задача разработки управленческого решения возникает в том случае, когда результат ее решения должен удовлетворять нескольким противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения оценивается совокупностью неких локальных критериев , которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности . Тогда говорят, что локальные критерии образуют вектор критериев , а коэффициенты вектора важности вектор . Для решения многокритериальной задачи необходимо найти такое значение вектора управления , которое обеспечит оптимальное значение вектора критериев

В методике решении многокритериальных задач дополнительным важным вопросом оказывается выбор принципа оптимальности. Обычно он строится на основе различных способов компромисса между составляющими вектора критериев.

Примечание. Под компромиссом понимается соглашение между противоположными, различными мнениями, направлениями и т.д., достигнутое путем взаимных уступок.

Компромисс можно отыскать только в том случае, когда возникает противоречие между локальными критериями, то есть когда при изменении решения показатели по одному критерию улучшаются, а по всем другим ухудшаются. Если изменение решения приводит к улучшению показателей по различным критериям, то имеет место ситуация согласия, которая не представляет интереса для решения задачи оптимизации. Определение области компромисса, то есть области допустимых значений решения , для которой имеют место противоречия между составляющими векторного критерия эффективности, само по себе уже представляет достаточно важную задачу, поскольку ее решение существенно уменьшает количество альтернатив. Дальнейший поиск оптимального решения заключается в выборе схемы компромисса, которая соответствует отысканию некой скалярной функции от вектора критериев , обеспечивающей

.

При решении практических задач составляющие вектора критериев должны быть приведены к единой размерности или нормализованы. Кроме этого, локальные критерии могут иметь различную степень важности, в связи с чем при выборе оптимального решения это обстоятельство также приходится принимать во внимание. В целом при выборе схемы компромисса приходится решать сложные концептуальные проблемы, что обычно приходится делать с помощью эвристических процедур.

На рис. 20 рассмотрена графическая иллюстрация метода отыскания возможного компромисса для двухкритериальной задачи. По осям координат отложены значения локальных критериев и , достигаемых при различных допустимых значениях решения . Кривая очерчивает область допустимых значений критериальных функций и и фактически определяет область согласия. Основной интерес для оптимизации представляет участок кривой , точки которой находятся в области компромисса (в точке имеется максимум по критерию , а в точке по критерию ). Решением оптимальной двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое значение вектора управления , которое обеспечивает положение решения на кривой удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему правило уступки по каждому из критериев. Так, например, точка и соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области компромисса (на кривой ) как удовлетворяющее требованию одинаковой абсолютной уступки по критериям и .

Рис. 20. Область согласия и область компромисса при решении многокритериальных задач

В литературе описано несколько распространенных способов выбора компромисса. Наиболее простым является способ скаляризации векторного критерия. В этом случае

. (12)

и задача разработки управленческого решения из многокритериальной превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов могут быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном виде. В последнем случае

.

Если скаляризация векторного критерия не представляется возможной, то можно воспользоваться методом, основанном на принципе равенства. В этом случае

,

то есть наилучшим считается такое решение, при котором достигается равенство локальных критериев. При практической реализации этот метод может оказаться неудобным, поскольку он может выводить решение из области компромисса. Вариантом этого метода является принцип квазиравенства, при реализации которого добиваются не точного равенства, а обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающих некоторой заданной величины . Тогда

, . (13)

Еще одним вариантом решения задачи оптимизации является принцип максимина. В этом случае задача оптимизации решается для каждого из локальных критериев, после чего отыскивается такое значение вектора управления в области компромисса, которое обеспечивает максимум наименьшего значения локального критерия

.

Принцип справедливой уступки предлагают компромисс, при котором суммарный абсолютный или относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного уровня повышения других критериев. Можно сказать [3], что принцип абсолютной уступки соответствует критерию

а относительной уступки критерию

Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не были бы меньше некоторых заданных величин. Вариантом этого метода является принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение обращающее в максимум главный показатель эффективности . После этого назначается некоторая уступка , которая позволяет максимизировать значение показателя . Далее снова назначается уступка и максимизируется значение показателя и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок.

В целом процедура решения многокритериальной задачи разбиваются на два этапа: собственно оптимизацию в соответствии с одним из ранее рассмотренных методов по каждому из критериев и выбор схемы компромисса между локальными критериями.