Методы теории массового обслуживания
Система массового обслуживания – это модель некоторой реальной системы, в которой имеется случайный поток требований на обслуживание, которое ведется в системе с некоторыми определенными правилами. Теория массового обслуживания имеет своей целью разработку методов и моделей оценивания эффективности процессов массового обслуживания и качества реализующих их систем, а также моделей и методов организации данных процессов и систем, обеспечивающих требуемую их эффективность и качество [10]. На рис. 25 в качестве примера приведен один из простейших вариантов таких систем.
Задачи разработки управленческого решения, решаемые методами теории массового обслуживания, относятся к категории задач в условиях риска, а основным методом решения подобных задач можно считать метод Монте-Карло. Оптимизация принимаемых решений на основе использования теории массового обслуживания может вестись, в частности, за счет выбора количества устройств обработки требований на обслуживание.
Рис. 24. Сетевой график, выдаваемый системой управления проектами
Рис. 25. Пример одноканальной системы массового обслуживания
Метод динамического программирования
Динамическим
программированием называется метод
оптимизации, в котором процесс принятия
решения может быть разбит на шаги [11].
Каждый шаг переводит объект управления
из состояния
в состояние
посредством управления
.
Если общее количество шагов равно
,
то можно говорить о последовательности
состояний
системы, которую она принимает в
результате воздействия
различных управлений
Целевая функция системы зависит от
начального состояния и управления
.
Предполагается,
что состояние системы
в конце
-того
шага зависит только от предшествующего
состояния
и управления на
-том
шаге
.
Тогда уравнение состояния системы имеет
вид
Если
считать целевую функцию аддитивной от
показателя эффективности каждого шага,
то на шаге
и целевая функция имеет вид
Решением
задачи динамического программирования
является определение такого управления
,
которое переводит систему из состояния
в состояние
при наибольшем (наименьшем) значении
.
Для
решения задачи динамического
программирования был сформулирован
так называемый принцип оптимальности.
Его смысл которого сводится к следующему:
каково бы ни было состояние
системы в результате выполнения
какого-либо числа шагов, управление на
ближайшем шаге нужно выбирать так, чтобы
оно в совокупности с оптимальным
управлением на всех последующих шагах
приводило к максимальному выигрышу на
всех оставшихся шагах включая данный.
Рассмотрим
последний шаг
.
Состояние системы к началу шага
,
управление, а
- целевая функция. Согласно принципу
оптимальности управление
нужно выбирать так, чтобы для любого
состояния
получался условный максимум целевой
функции
Решение
,
при котором достигается
называется условным оптимальным
управлением на шаге
.
Условный максимум целевой функции
отыскивается для всех возможных состояний
системы на последнем шаге. Далее
рассматривается совместно последний
и предпоследний шаг. Целевая функция в
этом случае имеет вид
Отыскивается условное оптимальное управление на двух последних шагах для всех возможных состояний системы на предпоследнем шаге
Состояние
системы при известном управлении
определяется как
,
в связи с чем целевая функция
зависит только от состояния на предыдущем
шаге и текущего управления. Далее
рассматривается три, четыре и т.д.
последних шага. В общем случае для шага
получается уравнение Белмана, впервые
разработавшего метод динамического
программирования.
В результате условной оптимизации могут быть получены последовательности значений критериальной функции и условных управлений
Решение
задачи динамического программирования
получается в результате подстановки
конкретного значения
в выражение для решения на первом шаге
и
.
Далее определяется состояние первого
шага
и так
далее для всех
шагов. Оптимальное решение задачи
получается при последовательном расчете
оптимальных решений
и
и новых состояний
.
При практической реализации метода динамического программирования на ЭВМ возникает ряд трудностей, связанных, в частности, со способами описания состояния объекта управления. Как правило, рассматривается конечное число состояний объекта управления на каждом шаге. Тем не менее, наибольший интерес представляет случай отыскания оптимального состояния объекта из бесконечного числа возможных состояний, например, методом математического программирования. В доступной литературе такие материалы отсутствуют, кроме того, не имеется сведений о программной реализации метода динамического программирования, хотя потребность в решении таких задач в достаточно велика. Из сказанного следует, что доведение методов динамического программирования до практического использования представляет собой актуальную и важную задачу исследования.