4.3. Логическая структура частного корреляционного отношения и частного показателя взаимосвязи

Пусть необходимо исчислить частное корреляционное отношение r_AB.C, т.е. найти тесноту корреляционной связи явлений А и В при предварительной фиксации в них той части рассеяния значений, которая вызвана общими причинами с явлением С. Фиксация влияния С осуществляется следующей процедурой:

1. Строим ту часть А, в которой фиксировано остаточное рассеяние А при стабилизации С;

2. Строим ту часть В, в которой фиксировано остаточное рассеяние В при стабилизации С;

3. Коррелируя полученные таким образом элементы остаточного рассеяния, получаем требуемое корреляционное отношение.

При этом необходимо трижды решать задачу сопоставимости. Дабы не загромождать рисунок, воспользуемся уже известным результатом: вектор, фиксирующий рассеяние А при стабилизации В, получим, опуская перпендикуляр на . На Рис. 3 фиксирует рассеяние В при стабилизации С (в масштабе В); фиксирует остаточное рассеяние А при стабилизации С в масштабе А. Для коррелирования и необходимо тоже привести к масштабу явления А. Можно убедиться в том, что опять же в предположении линейного закона связи общих частей явлений это осуществимо путём параллельного переноса и есть уже в масштабе А. Для коррелирования сопоставленных величин опускаем перпендикуляр на . Отношение ║ ║ к ║ ║ даёт частное корреляционное отношение r_AB.C.

Найдём геометрический аналог полученного построения. Поскольку ∆c_ada – прямоугольный с прямым углом при вершине d, то частное корреляционное отношение r_AB.C = cos φ. Используя стереометрические приёмы выражения угла φ при основании пирамиды через углы при её вершине, в [7] показано, что cos φ = (cos γ – cos α * cos β) / (sin α * sin β), или, что то же r_AB.C = (r_AB – r_BC * r_AC) / ( * ), что соответствует выражению (3).

Предложение 3: При линейной форме связи группы случайных величин их частные корреляционные отношения совпадает с частными коэффициентами корреляции.

В Таблице 3 приводится следующая схема построения частного корреляционного отношения:

Таблица 3

Схема исчисления частного корреляционного отношения

№ п/п	Логические операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
1	Исчисление единиц масштаба А, В и С	SA = 1 / ║ ║, SB = 1 / ║ ║, SС = 1 / ║ ║
2	Сопоставление пар А и С, В и С	Переход к = * SA, = * SB, = * SС
3	Стабилизация С	Аналогично операции стабилизации в схеме 1
4	Коррелирование А и С, В и С	rAС = ( , ), rBС = ( , )
5	Очистка А от С, В от С	= – = – * rAC, = – = – * rBC
6	Исчисление единиц масштаба остатков и	S( ) = 1 / S( ) = 1 /
7	Сопоставление и	Переход к = S( ) * = S( ) *
8	Стабилизация	Аналогично операции стабилизации в схеме 1
9	Коррелирование остатков и	rAB.C = ( , )

Для наглядности частного проецирования часть Рис. 3 выделена в отдельный Рис. 4. есть в масштабе . Опуская из вершины перпендикуляр на , получим , отражающий ту часть рассеяния значений А (уже предварительно очищенную от влияния С), в которой закреплено рассеяние А, объясняемое линейной зависимостью с В (тоже предварительно очищенным от С). В соответствии с выполненными построениями, в Таблице 4 предлагается следующая логическая схема построения частного показателя взаимосвязи.

Таблица 4

Схема исчисления частного показателя взаимосвязи

№ п/п	Логические операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
1	Исчисление единиц масштаба А, В и С	SA = 1 / ║ ║, SB = 1 / ║ ║, Sс = 1 / ║ ║
2	Представление С в масштабах А и В	= SС(A) * , SС(A) = SС / SА, = SС(B) * , SС(B) = SС / SB
3	Проецирование С на А и С на В.	║ ║ = ║ ║ * rAС * SС(A), ║ ║ = ║ ║ * rBС * SС(B)
4	Очистка А от С и В от С	= – , = –
5	Исчисление единиц масштаба остатков	S( ) = 1 / ║ ║ * S( ) = 1 / ║ ║ *
6	Представление в масштабе	S = S( ) / S( )
7	Проецирование остатков. Получение частного показателя взаимосвязи	bAB.C = rAB.C * ║ ║ * / ║ ║ *

Выражение для b_AB.C соответствует (3) – (5). Тем самым обосновано:

Предложение 4: При линейной форме связи группы случайных величин их частные показатели взаимосвязи совпадает с частными коэффициентами регрессии.