3. Устойчивость решений, принимаемых на основе матрицы измерений

Появление структуры специального вида – психоматрицы, взамен разрозненной совокупности психических свойств, открывает новые возможности анализа сознания. Прежде всего, нас интересует мера обусловленности принимаемых на её основе решений и устойчивость последних. Структура этой главы такова:

• аппаратом обусловленности исследуются устойчивость решений, принимаемых по простейшей модели – системе линейных алгебраических уравнений;

• вычислительные аспекты решения системы увязываются с требованием корректности решения;

• приводится обзор направлений, в рамках которых в областях, ограниченных задачами, поставленными корректно по А. Н. Тихонову, снимаются классические требования корректности.

3.1. Обусловленность решения

Простейшей моделью принятия решений в матричном представлении является задача решения системы линейных алгебраических уравнений, которая записывается выражением

Ax = b, (1)

где: А = {a_ij}, i, j = 1…n - матрица коэффициентов уравнения;

b – вектор свободных членов;

x – вектор решения.

В данном случае не принципиально даже то, что для модели сознания такая модель принятия решений представляется не совсем очевидной: в любом случае анализ такой постановки имеет универсальное значение. Позиция математики при решении любой задачи состоит в том, что подлежат безусловному рассмотрению, по меньшей мере, следующие вопросы:

• существование решения:

• его единственность;

• качество решения.

Вопросы существования и единственности решения системы (1) априори предполагаются решёнными положительно, т.е. det(A) ≠ 0, существует единственная обратная матрица А^-1 и решение представлено в виде x = A^-1*b, а исследуется только его устойчивость. По сути, в этой главе приводятся полные доказательства тех результатов по обусловленности решения, которые в предыдущей главе упомянуты без доказательства. Пусть исходные данные этой системы заданы с погрешностями соответственно ΔА и Δb, что вызовет погрешность решения Δx. Тем самым исходная система (1) трансформируется к виду

(A + ΔА) * (x + Δx) = b + Δb (2)

Оценим погрешность Δx и её соотношение с точным решением. Для этого придётся перейти к специальным скалярным величинам. Как векторам, так и матрицам, удобно сопоставить некоторые одномерные числовые значения – нормы, в определённом смысле характеризующие величину исходных объектов. Понятие нормы вектора вводится аксиоматически следующими свойствами:

1. ║x║ > 0 при x ≠ 0 и ║0║ = 0, где ║.║ - знак некоторой векторной нормы;

2. ║k * x║ = │k│ * ║x║ для любого действительного k;

3. ║x + y║ <= ║x║ + ║y║ - неравенство треугольника.

Свойствам 1 – 3 удовлетворяет используемая далее евклидова норма вектора, определяемая формулой

║x║ = ²

Матричная норма вводится аналогичными 1 - 3 свойствами с добавлением свойства Коши - Буняковского

4. ║A * C║ <= ║A║ * ║C║.

Свойствам 1 – 4 удовлетворяет матричная норма, подчинённая евклидовой векторной норме, и определяемая выражением

║A║ = max ║Ax║

^{║x║= 1}

Для нахождения оценки Δx вычтем (1) из (2) и получим:

(A + ΔA) * Δx = Δb – ΔA * x (3)

Чтобы разрешить (3) относительно Δx, необходимо выяснить условие существования обратной матрицы (A + ΔA)^-1. Представим (A + ΔA) в виде A + ΔA = A(E + A^-1 * ΔA). Как вспомогательный результат получим условие существования обратной матрицы (E + C)^-1. Известно, что если матрица (E + C)^-1 существует, то правомерно её разложение в степенной матричный ряд Неймана:

(E + C)^-1 = E + C + C² + C³ + … (4)

Ряд (4) всегда сходится, когда сходится соответствующий числовой ряд

1 + ║C║ + ║C║² + ║C║³ + … (5)

Ряд (5) сходится при условии ║C║ < 1, что и является достаточным условием существования матрицы (E + C)^-1. Итак, матрица (A + ΔA)^-1 существует, если

║A^-1 * ΔA║ < 1 (6)

В предположении (6) абсолютная оценка погрешности решения имеет вид

Δx = (E + A^-1 * ΔA)^-1 * A^-1 * (Δb – ΔA * x) (7)

Для перехода к числовой оценке необходимо оценить ║(E + A^-1 * ΔA)^-1║. Применив к (4) неравенства Коши – Буняковского и треугольника, получим

║(E + C)^-1║ <= ║E║ + ║C║ + ║C║² + ║C║³ + … (8)

Так как в правой части (8) при ║C║ < 1 записана сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, то ║(E + C)^-1║ <= 1 / (1 - ║C║). Отсюда

║Δx║ <= ║(E + A^-1 * ΔA)^-1║ * ║A^-1║ * (║Δb║ – ║ΔA * x║) <=

║A^-1║ * (║Δb║ – ║ΔA * x║) / (1 - ║A^-1 * ΔA║) (9)

Более информативной, чем абсолютная оценка (9), является относительная оценка погрешности решения. Так как ║b║ <= ║A ║ * ║x║, то в предположении b ≠ 0

1 / ║x║ <= ║A ║ / ║b║ (10)

Умножая (9) на (10), получим верхнюю оценку для относительной погрешности решения

║Δx║ / ║x║ <= (║A║ * ║A^-1║) / (1 - ║A^-1 * ΔA║) * (║Δb║ / ║b║ - ║ΔA║ / ║A║) (11)

Другим способом аналогичный результат получен в [1]. Отметим, что всегда можно построить пример, в котором указанная оценка достигается, т.е. неравенство (11) не улучшаемо.

Аналогичным образом можно исследовать частные случаи и показать, что:

1. Если матрица задана точно, а вектор с погрешностью, то

║Δx║ / ║x║ <= (║A║ * ║A^-1║) * (║Δb║ / ║b║);

2. Если матрица задана с погрешностью, а вектор известен точно, то

║Δx║ / ║x║ <= (║A║ * ║A^-1║) / (1 - ║A^-1 * ΔA║) * (║ΔA║ / ║A║).

Во всех трёх случаях фигурирует множитель ║A║ * ║A^-1║. Это число является одной из принятых характеристик обусловленности матрицы и обозначается cond A [2] (H – число обусловленности [3], спектральное число обусловленности [4]). Для оценки cond A применим неравенство Коши - Буняковского к тождеству A * A^-1 ≡ E:

cond A = ║A║ * ║A^-1║ >= ║E║ = 1

Если А – симметричная матрица, то возможна точная оценка cond A [2 - 4]:

сond A = ║A║ * ║A^-1║ = μ_max / μ_min , (12)

где μ_max , μ_min – соответственно максимальное и минимальное по модулю характеристические значения (собственные числа) матрицы А. Многие фундаментальные свойства матрицы А зависят от того, как она обеспечивает кратные преобразования некоторых векторов x, т.е. Ax = μx. Значения коэффициентов кратности μ при этом преобразовании называются собственными числами матрицы А. Представляет значительный интерес голографическая интерпретация собственных чисел. Голография – это такой физический процесс, при котором запись одной и той же информации повторяется в любом масштабе и в любой точке записывающего пространства. Если матрицу А трактовать в смысле универсального голографического преобразования, то её собственные значения по определению естественно интерпретировать как масштабные множители.

Для прямоугольных матриц общего вида оценка (12) может быть представлена в аналогичном виде:

сond A = ║A║ * ║A^-1║ = sup (h(Ax) / h(x)) / inf (h(Ax) / h(x)),

_{h(x) ≠ 0 h(x) ≠ 0}

где sup, inf – наибольшая и наименьшая верхняя грань некоторой векторной нормы h(Ax). Матрица А и решение x системы (1) называются плохо обусловленными, если значение сond A достаточно велико. Получим выражение для нижней границы оценки относительной погрешности решения. Очевидно, что со стороны обусловленности нижняя граница оценки ║Δx║ / ║x║ определяется минимальным значением сond A, т.е.

║Δx║ / ║x║ >= 1 / (1 - ║A^-1 * ΔA║) * (║Δb║ / ║b║ - ║ΔA║ / ║A║) (13)

Неравенства (11) и (13) разрешают следующий вывод: В общем случае относительная погрешность решения системы (1) превышает суммарную величину относительных погрешностей задания исходной информации, а величина этого превышения в значительной степени определяется обусловленностью матрицы А. С некоторой натяжкой этот вывод может быть интерпретирован в терминах доверительных интервалов: решение системы (1) будет тем достовернее, чем меньше значение сond A.

В евклидовом пространстве существует класс ортогональных матриц {U} – таких, что U * U^T = U^T * U = E, где U^T – транспонированная к U матрица, а cond U = 1 [2, 4]. Решение системы (1) будет тем меньше восприимчиво к действию погрешностей в исходной информации, чем больше матрица А близка к ортогональной матрице. Увы, процесс ортогонализации Грама – Шмидта для этих целей не подходит, так как ортонормированный базис зависит от порядка фиксации ортогонализуемых векторов. Поэтому Дж. Х. Уилкинсон предложил выход, состоящий в таком масштабировании исходной информации, при котором исходная матрица определённым образом уравновешивается. Матрица называется уравновешенной, если длины её строк и столбцов (в евклидовой норме) совпадают и равны единице. Практические алгоритмы уравновешивания и вопросы их сходимости рассматриваются в работе В. В. Шакина [5].