3.2. Корректность решения

Гуманитарные дисциплины полагают себя свободными от необходимости следовать принципам естественнонаучной парадигмы познания и занимаются интерпретациями или толкованиями смысла той или иной человеческой деятельности. Итоги подобных вольностей выражаются в субъективизме познания, в конечном счёте, сводимы к ироничной формуле: «число смыслов равно числу толкователей». Противоположная позиция естествознания исходит из признания необходимости соблюдения жёстких критериев корректности решения. Ранее здесь предполагалось, что существует единственное решение системы (1). Рассмотрим соотношение плохой обусловленности и вырожденности матрицы А. Известно, что:

Det(А) = μ₁ * μ₂ * … * μ_n (см., например, [2]),

где μ₁, μ₂, … μ_n – собственные значения матрицы А. Если Det(А) = 0, это означает, что хотя бы одно из собственных значений матрицы А равно (или близко к) нулю. Но при этом и сond A →  согласно (12). Итак, правомерен вывод, что вырожденность является крайним случаем плохой обусловленности. Но это означает, что плохая обусловленность решения является следствием не столько погрешности исходной информации, сколько общей корректности постановки задачи, влияющей на структуру матрицы А. Чтобы разобраться в этих нюансах, рассмотрим формализованные понятия корректных постановок.

Под корректной по Адамару постановкой задачи понимается такая постановка, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Решение задачи (1) существует для всех исходных данных, принадлежащих некоторому замкнутому многообразию в линейном нормированном функциональном пространстве E_n;

2. Решение задачи единственно в том же классе данных и в аналогичном классе решений;

3. Бесконечно малым вариациям исходных данных задачи соответствуют бесконечно малые вариации решения, т. е. решение в некотором смысле непрерывно зависит от данных задачи. Это свойство решения называется устойчивостью.

Многие важные прикладные задачи не удовлетворяют этим жестким критериям корректности постановки. В частности, результаты по обусловленности решения системы (1) свидетельствуют о возможности невыполнения классического требования устойчивости решения.

А. Н. Тихоновым были предложены менее жесткие условия корректности. Задача называется корректно поставленной по А. Н. Тихонову, если:

1. Априори известно, что решение задачи существует для некоторого класса данных L и принадлежит некоторому заданному множеству M функционального пространства;

2. Решение единственно в некотором классе данных и в классе решений, принадлежащих M;

3. Бесконечно малым вариациям исходных данных задачи, не выводящим решение за пределы множества M, соответствуют бесконечно малые вариации решения.

Первое требование корректности в классической постановке устанавливается теоремой существования решения. В постановке А. Н. Тихонова нет признаков принадлежности данных к классу L и теорема существования может вообще не иметь места. Можно показать, что метод наименьших квадратов является корректной по Тихонову постановкой.

С позиций прагматики всякая новая постановка имеет смысл, если она сопровождается эффективными методами её реализации. Под эффективным методом понимается такой алгоритм, который даёт возможность определить решение с некоторой заданной точностью по приближённым данным. Исходный результат А. Н. Тихонова устанавливал зависимость качества устойчивости решения от требований существования и единственности. В [6] доказана следующая лемма:

Если уравнение (1) удовлетворяет условиям 1-2 по Тихонову, то существует функция ω(σ) такая, что:

• ω(σ) – непрерывная неубывающая функция и ω(0) = 0;

• для любых x, y є M и удовлетворяющих неравенству ║A * x – A * y║ <= σ, имеет место неравенство ║x – y║ <= ω(σ).

Итак, выполнение устойчивости решения следует из выполнения условий 1 – 2. Однако в [6] ещё нельзя было сделать конкретных выводов о характере функции ω(σ).

В настоящее время (эта рукопись написана в 1974 г.) определились два подхода к корректному решению некорректно поставленных задач. Первый подход связан с предположением, что существует дополнительная информация, ограничивающая класс возможных решений X (x є X). Изложение этого подхода и сводка основных его результатов представлены в монографии М. М. Лаврентьева [7]. Предложенные там методы позволяют обеспечить требование устойчивости решения, однако, остались затруднения, связанные с требованием существования решения. В связи с этим В. К. Иванов в [8] предложил идею квазирешения, что позволило снять требование 1.

Пусть M – заданное компактное множество пространства X. Квазирешением уравнения

A * x = b₀

на M называется такой элемент x₀ є M, что f(x) = ║A * x – b₀║ на M достигает минимального значения в точке x₀. В [8] показано, что квазирешение может быть найдено эффективно. В тех случаях, когда существует истинное решение (1), квазирешение совпадает с ним и поэтому может рассматриваться как обобщение истинного решения. Показано, что при достижении единственности во многих важных случаях квазирешение удовлетворяет классическим условиям корректности.

Основным вопросом первого подхода является установление дополнительных ограничений на класс решений, делающих его компактным. Обозначим M = {x є E_n: ║A * x – b║ = inf ║A * v – b║}.

v є E_n

Элемент x^b называется нормальным решением (1), если

║x^b║ = min ║x║ (14)

_{x є M}

Условием (14) вектор x^b определяется однозначно. Эффективные методы решения (14) предложены в [7 – 8].

Второй подход трактует приближенное решение некорректных задач. В работах А. Н. Тихонова [9 – 10] предложен метод регуляризации некорректно поставленных задач, который позволяет получить квазирешения примерно с теми же свойствами, что у В. К. Иванова. Идея состоит в том, что вместо задачи минимизации (14) на множестве M следует минимизировать регуляризационный функционал

║A * x – b║² + ║x║² / ε → min, (15)

где ε – некоторый положительный параметр. Эта задача имеет единственное решение x^ε, причем

║x^ε – x^b║ → 0.

_{ε → 0}

Эффективный численный алгоритм реализации задачи (15) предложен в работе [11].