4.2. Логическая структура парного корреляционного отношения и парного показателя взаимосвязи

Геометризация результатов теории линейной регрессии возможна посредством использования аппарата векторной алгебры. Такая возможность появилась с установления изоморфизма между основными операциями векторной алгебры и логическими операциями над случайными величинами (см. по этому поводу, например, [7]). Аппарат векторной алгебры можно применить к решению ряда задач статистики, основанных на тех свойствах векторов, что остаются инвариантными при используемых преобразованиях. Таковыми являются:

1. Длина вектора в евклидовой норме, являющаяся аналогом среднеквадратического отклонения (в предположении предварительного центрирования компонент вектора их среднеарифметическим значением);

2. Величина плоскостного угла между векторами, являющаяся аналогом степени парной корреляционной взаимосвязи;

3. Величина многомерного (объёмного) угла, являющаяся аналогом степени корреляционной зависимости нескольких случайных величин;

4. Проекции приведенных к единому масштабу векторов, являющиеся геометрическими аналогами теоретических значений результативного фактора, объяснимых влияниям соответствующего затратного фактора.

Во всех проводимых в работе построениях первоначально предполагается выполнение предпосылок линейной регрессии.

Пусть среди причин, обусловивших рассеяние значений объектов А и В есть группа общих причин и указанные объекты связаны линейной формой зависимости. Рассмотрим логическую структуру показателя, который отображал бы ту долю рассеяния значений А, что вызвана причинами, связанными с В. Исходная информация задана векторами и . Под вектором понимается элемент N – мерного числового пространства над полем действительных чисел. Предполагается существование единственного вектора направлений общих частей объектов А и В - такого, что (см. Рис. 1):

= + , = + , ┴ ┴ , (8)

где и - независимые составляющие А и В; и - отражают общую часть рассеяния значений А и В (на рисунке здесь и впредь прямые углы обозначаются дугами с односторонними стрелками)_. Такое построение основано на том результате, что ортогональность величин в нормально распределённой совокупности является необходимым и достаточным условием их стохастической независимости.

В общем случае явления А и В разнородны по своей природе. Очевидно, что решение задачи сопоставимости связано с масштабированием исходной информации. Так как метрикой однородности в нормально распределённых совокупностях является евклидово расстояние, то за единицу масштаба некоторого фактора в условиях линейной регрессии естественно выбрать величины, обратные к евклидовым нормам векторов исходной информации, т.е. S_{A =} 1 / ║ ║, S_{B =} 1 / ║ ║. Переходом от и к = S_{A *} и = S_{B *} устраним природную несопоставимость первого рода объектов А и В. Так как корреляционные отношения являются относительными показателями, то в их логических схемах впредь применим только указанный приём снятия несопоставимости.

С другой стороны, несопоставимость связана и с формой взаимосвязи величин. Понятно, что пропорциональная зависимость наблюдённых значений, характерная для линейной регрессии, приведёт к построениям, подобным уже полученным. Поэтому аналитическая задача снятия несопоставимости второго рода состоит в выборе такого масштаба S_В(А), чтобы ║ ║ = ║ ║, где - вектор явления В в масштабе А. Отсюда S_В(А) = S_B / S_A. Итак, при линейной форме регрессии геометрическое решение задачи сопоставимости второго рода состоит в проведении P_ab₃ ║ P_bb (║ в данном случае обозначает символ параллельности) до пересечения с (см. Рис.2). Так как показатели взаимосвязи являются абсолютными величинами, измеримыми в физических единицах, то в их логических схемах впредь применим только второй приём снятия несопоставимости.

Теперь рассмотрим процесс «объяснения» части рассеяния явления А из-за причин, связанных с В. По Рис. 1 = + = + = + + + . После стабилизации вектором – стабилизатором таким, что ║ ║ = ║ ║, колинеарен , но противоположен ему по направлению, нейтрализуя внутреннее (т.е. вызванное причинами, не связанными с B) рассеяние значений А, отображённое векторами и . Остаётся только «внешнее» рассеяние: характеризует рассеяние А из-за В в масштабе В; характеризует рассеяние В из-за А в масштабе В. Чтобы внедрить в состав явления А, необходимо привести его к масштабу А. Для случая линейной регрессии так как Δob₁P_b ≈ Δob₂P_a, то ║ ║ / ║ ║ = ║ ║ / ║ ║. Отсюда отражает рассеяние значений А из-за В уже в масштабе явления В. Складывая c , равным , получим , отражающий явление А после стабилизации В. Векторная разность между и , равная , фиксирует уменьшение рассеяния значений А, произошедшее в результате стабилизации В.

Отношение ║ ║ к ║ ║ даёт требуемое корреляционное отношение, измеряющее тесноту связи между А и В. Найдём геометрический аналог построения парного корреляционного отношения, выполненного для условий линейной регрессии. Покажем, что перпендикулярен к плоскости [aP_ab₂]. Так как ┴ по построению, ┴ , то ┴ , что и надо было показать. Отсюда Δab₂O – прямоугольный с прямым углом при вершине b_2. Парное корреляционное отношение r_AB = ║ ║ / ║ ║ = cos(ab). Приведенные рассуждения обосновывают

Предложение 1: Парное корреляционное отношение равно парному коэффициенту корреляции, если закон, связывающий явления, есть линейной регрессией.

Ранее было использовано предположение о том, что существует единственное направление общих частей общих частей исследуемых явлений. Легко убедиться в том, что комплекс условий (8) определяет два симметричных направления и выбор одного из них является следствием фиксации наименований результативного и затратного факторов. Если ввести обозначения ‹aOb = α, ‹aOP = β, ‹bOP = γ, то более компактно положение определяется следующими условиями:

sin β = sin γ = , cos β = cos γ = , являющихся следствием (8).

Резюмируя выше изложенное, можно предложить некоторую схему логической структуры парного корреляционного отношения. Здесь и далее в левой части схемы записываются операции для общего случая корреляционных отношений; до выяснения общего способа масштабирования в разделе 5 правая часть схемы является формализацией левой только для условий линейной регрессии.

Таблица 1

Схема исчисления парного корреляционного отношения

№ п/п	Логические операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
1	Сопоставление А и В	Переход к = * SA, = * SB, ║ ║ = ║ ║ = 1
2	Стабилизация В	Добавление к равного и коллинеарного вектора , но противоположно направленного
3	Коррелирование А и В	rAB = ( , ) = ║ ║ * ║ ║ = cos(ab)

В отличие от парного корреляционного отношения, являющегося относительным и неразмерным показателем, показатель парной взаимосвязи является абсолютным и имеющим физическую размерность, выражающим значения явления А через соответствующие значения В. В связи с этим необходимо разграничить употребление терминов «фиксирует» и «отображает». только фиксирует величину уменьшения рассеивания А, произошедшую в результате стабилизации В. Чтобы действительно отобразить ту часть А, которая корреляционно связана с В, необходимо аналогично выше проделанному из b₃ опустить перпендикуляр на . отображает ту часть А, в которой закреплено рассеяние А, объясняемое причинами, общими с В. Так как ║ ║ = ║ ║ * r_AB = ║ ║ * r_AB * ║ ║ / ║ ║, то показатель взаимосвязи b_AB = r_AB * ║ ║ / ║ ║, что является частным случаем (5) для нулевого порядка показателя. В обычных терминах корреляционно – регрессионного анализа отражает теоретическую (по линейной регрессии) часть результативного признака, или его вариацию, объяснённую затратным фактором В.

В Таблице 2 предлагается следующая схема исчисления парного показателя взаимосвязи.

Таблица 2

Схема исчисления парного показателя взаимосвязи

№ п/п	Логические Операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
1	Исчисление единиц масштаба А и В	SA = 1 / ║ ║, SB = 1 / ║ ║
2	Представление В в масштабе А	= SB(A) * , SB(A) = SB / SA = ║ ║ / ║ ║
3	Проецирование В на А. Исчисление парного показателя взаимосвязи	║ ║ = ║ ║ * rAB * SВ(A) bAB = rAB * ║ ║ / ║ ║

Введём понятие операции «очистки». Производя векторное вычитание из , получим такой, что ║ ║² = ║ ║² – b * ║ ║² или ║ ║ = ║ ║* , т.е. отражает ту часть явления А, в которой закреплено рассеяние, не связанное с В. опять же – только фиксирует остаточное рассеяние А.

Эти построения обосновывают:

Предложение 2: При линейной форме связи случайных величин парный показатель взаимосвязи совпадает с парным коэффициентом регрессии.