40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения

40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть исследуемый признак имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией . Эффективной точечной оценкой параметра а является выборочная средняя . Поставим задачу найти доверительный интервал, покрывающий параметр а с надежностью .

Рассматривая выборочную среднюю как случайную величину , а выборочные значения признака – как одинаково распределенные независимые случайные величины, заключаем, что

,

.

Примем без доказательства тот факт, что если случайная величина распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры таковы:

, .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

,

где – заданная надежность.

Воспользуемся известной формулой для вероятности отклонения случайной величины, распределенной нормально, от своего математического ожидания на величину, по модулю не превосходящую :

,

Заменим Х на , а на , получим

,

где .

Выразив из последнего равенства , можем написать

.

Приняв во внимание тот факт, что выраженная вероятность равна , а также, вернувшись к обозначению средней выборочной , получим соотношение для доверительного интервала, покрывающего математическое ожидание а нормального распределения с надежностью :

.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки равна .

Задача. Фирма коммунального хозяйства желает выборочным методом оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 0,99 и точностью, не меньшей 10 руб. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 30 руб., найти минимальный объем выборки, необходимый для решения поставленной задачи.

Решение. В данной задаче требуется найти такое значение n, при котором , где . Из равенства найдем . Подставив это значение, а также в уравнение , получим . Таким образом, минимальное значение .

40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

В том случае, когда исследуемый признак имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией , невозможно воспользоваться результатами п. 40.1, в котором дисперсия предполагалась известной.

В данном случае поступают следующим образом. По данным выборки строят случайную величину Т:

,

которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы; здесь – выборочная средняя; S – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента

,

где .

Распределение Стьюдента определяется единственным параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров а и . является четной функцией от t, вероятность осуществления неравенства определяется так:

.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством, получим

.

Последнее равенство представляет собой соотношение для доверительного интервала , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью . Здесь и s – выборочные значения признака.

Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):

Выработка в отчетной году (в % к предыдущему году)
Количество рабочих	6	20	45	24	5	100

Предположим, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Построить доверительный интервал надежности 0,95 для средней выработки на одного рабочего.

Решение. Можно показать, что выборочные характеристики данного распределения таковы: . С учетом того, что , получим соотношение

,

которое будет использоваться нами для решения поставленной задачи. Пользуясь таблицей значений по = 0,95 и n = 100, находим . Найдем границы доверительного интервала:

,

.

Таким образом, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале .