36. Статистические аналоги теоретических законов распределения

36.1 Эмпирическая функция распределения

Из теории вероятностей известно, что одной из форм закона распределения случайной величины Х (случайного признака Х) является ее функция распределения . Определим выборочный (статистический) аналог функции .

Эмпирической функцией распределения называется функция

,

где - число элементов выборки , значения которых меньше х.

В отличие от эмпирической (построенной по эмпирическим или выборочным данным) функции функцию называют теоретической (или генеральной) функцией распределения.

Построение эмпирической функции распределения удобно производить с помощью группированных данных, представленных статистическим рядом (дискретным или интервальным). Функция постоянна на промежутках (при i = 1, 2, …, k) для дискретно группированных данных или на промежутках для интервально группированных данных, а в концевых точках увеличивается на относительную частоту , i = 1, 2, …, k−1:

Эмпирическая функция распределения определена однозначно для всех х ( ) и обладает всеми свойствами функции распределения: изменяется от 0 до 1, не убывает и непрерывна слева. Она играет фундаментальную роль в математической статистике. Важнейшее ее свойство состоит в том, что при увеличении числа наблюдений n над признаком Х происходит сближение эмпирической функции с теоретической функцией распределения , т.е.

при любом сколь угодно малом .

Задача. По данным задачи п.35 построить эмпирическую функцию распределения.

Решение. Значения функции распределения приведены ниже.

№ п/п	Границы интервала		Частота	Относительная частота	Функция
	левая	правая
1	−∞	1	0	0	0
2	1	2	4	0,04	0,04
3	2	3	6	0,06	0,10
4	3	4	12	0,12	0,22
5	4	5	16	0,16	0,38
6	5	6	44	0,44	0,82
7	6	+∞	18	0,18	1

36.2 Полигон и гистограмма

Для наглядного представления выборочных данных применяются полигон и гистограмма.

Полигон обычно используют для изображения дискретного статистического ряда. Для его построения на оси абсцисс откладывают все различные выборочные данные . На оси ординат откладывают либо частоты , либо относительные частоты . Затем отмечают точки с координатами или при i = 1, 2, …, k, и соединяют соседние точки отрезками прямой. Полученная таким образом ломаная называется полигоном частот или полигоном относительных частот. В силу закона больших чисел в схеме Бернулли относительные частоты сходятся к вероятностям при i = 1, 2, …, k. Поэтому полигон относительных частот является статистическим аналогом многоугольника распределения.

Кроме того, что полигон частот обеспечивает наглядность представления дискретного статистического ряда, он позволяет сравнивать визуально и делать предположение о близости распределения исследуемого признака к тому или иному закону распределения.

Задача. Построить полигон относительных частот тарифного разряда по данным задачи из п. 35.

Решение. Полигон относительных частот представлен ниже.

Гистограмма относительных частот – графическое изображение интервального статистического ряда в виде ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников различной высоты. Основаниями прямоугольников являются интервалы (при i = 1, 2, …, k) оси абсцисс, соответствующие интервалам группировки, а высоты соответствуют относительным частотам интервалов.

Использование гистограммы для статистического анализа, кроме наглядности представления данных, основано на том факте, что при достаточно большом объеме выборки n и малых значениях длин интервалов группировки h гистограмма относительных частот близка к плотности распределения исследуемого признака Х.

Задача. Построить гистограмму относительных частот статистического интервального распределения

Интервал группировки
Частота	4	6	16	36	24	10	4

Решение. Для построения гистограммы составим таблицу:

№ п/п	Границы интервала		Частота	Относительная частота
	левая	правая
1	5	10	4	0,04	0,008
2	10	15	6	0,06	0,012
3	15	20	16	0,16	0,032
4	20	25	36	0,36	0,072
5	25	30	24	0,24	0,048
6	30	35	10	0,1	0,02
7	35	40	4	0,04	0,008

Гистограмма данного интервального распределения представлена ниже.

0,072

0,048

0,032

0,02

0,012

0,008

5 10 15 20 25 30 35 40 х