Прогнозирование технического состояния.
Задача прогнозирования состояния работоспособности в общем случае заключается в следующем: по результатам диагностирования объекта в предшествующие моменты времени необходимо оценить его работоспособность в последующие периоды функционирования.
Процессы изменения технического состояния объектов представляет собой процессы старения и деградации, приводящие к отказу изделия.
Причины, вызывающие отказы и определяющие механизм изменения технического состояния объектов:
Конструктивные причины (несовершенство конструкции изделия);
Технологические причины (нарушение принятой технологии или ее неоптимальность);
Эксплуатационные (нарушение правил эксплуатации);
Старение и износ, приводящий к тому, что даже изделия высокого качества (с хорошими конструкцией и технологией, правильной эксплуатацией) отказывают с течением времени.
1 группа – процессы вызывающие внезапное (катастрофическое) изменение технического состояния.
2 группа – процессы, приводящие к постепенному изменению состояния.
В общем случае процесс изменения состояния объекта можно представить в виде
– все
вектора (1)
Где
составляющая
характеризует в объекте необратимые
изменения,
– обратимые изменения и ошибки
измерительных цепей.
Составляющая определяет «тренд» или закономерность изменения процесса – детерминированная часть; характеризует стахастическую часть процесса (случайную составляющую).
Линейное прогнозирование
Постановка задачи:
Состояние
ОУ характеризуется вектором диагностических
параметров. В общем случае число таких
параметров равно n.
Рассмотрим прогнозирование одного
диагностируемого параметра
.
Диагностический параметр измеряется
в дискретные моменты времени, разделенные
периодом
,
наблюдение осуществляются в течении
N
периодов
, N
– текущий период времени.
Вектор
наблюдений включает N
значений данного диагностического
параметра:
Последовательность
– временной
ряд.
Задача
заключается в поиске наилучшей оценки
ненаблюдаемой величины
,
m>N,
по результатам измерений
.
Решение:
Прогнозированное
значение ряда
будем искать в классе линейных операторов,
позволяющих представить:
(2)
где – пока неизвестный N- мерный вектор весовых коэффициентов. Задача определить .
Введем
в рассмотрение ошибку прогнозирования:
(2а)
где – неизвестен.
Модель
тренда:
(3)
Функции
–
известны, коэффициенты
неизвестны.
(3а)
Тогда
измерения (значения временного ряда):
(4)
(4)
можно записать в векторной форме (4а):
(4а)
Где – значения временного ряда
Тогда
с учетом (4а) ошибка прогнозирования:
(4б)
Допущение:
будем полагать, что модель тренда (3)
введенная выше на отрезке
справедлива
и на множестве
(за его пределами). Это позволяет
представить измерение в виде:
– случайная
составляющая
где
В результате после приведения подобных получаем (5):
(5)
О векторе весовых коэффициентов ничего не известно, поэтому потребуем, чтобы:
(6)
где 0-нулевой (n+1) вектор.
Число неизвестных N, число уравнений (n+1). Так как n+1<N, то система имеет бесконечное число решений.
Чтобы выйти из этой ситуации, потребуется, чтобы весовые коэффициенты вектора обращали в минимум дисперсию ошибки.
Вычислим
дисперсию ошибки прогнозирования
(7)
при
условии
Соотношение (7) описывает задачу условной оптимизации (нахождения вектора , который минимизирует дисперсию).
Для аналитического решения задачи используется функция Лагранжа, которая включает в себя взвешенные суммы исходной целевой функции (7) и ограничения:
- вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Необходимые условия рассматриваемого условного минимума:
Прогноз
для момента времени
:
(9)
-
выражение для определения МНК оценок
коэффициентов тренда
Прогноз
:
– точный прогноз.
Точность оптимального прогнозирования определяется минимальным значением дисперсии (7), которая в случае (9) оказывается равной:
(10)
– дисперсия ошибки измерения
диагностического параметра.
Кроме
точного прогноза используется
интервальный прогноз, который представляет
доверительные интервалы. Дисперсия
неизвестна, используется оценка
дисперсии:
где
- строка матрицы F.
Оценка
дисперсии (10):
(11)
Определяется интервальная оценка (доверительные интервалы):
(12)
где
- значение распределения Стьюдента с
N-n-1
степенями свободы и уровнем значимости
.
Выражение (12) показывает, что с вероятностью 0,95 действительные значения процесса в момент времени не выйдет за указанные границы. - точечные значения прогноза.
Алгоритм прогнозирования существенно упрощается, если матрица удовлетворяет условию ортогональности. Используя общий результат (9), несложно найти:
