Представим степень интеграла в правой части (23) в виде произведения интегралов:

Т.к. интегралы определенные, то всё равно по каким переменным осуществляется интегрирование

(24)

Произведение ядер первого порядка представляется ядром Вольтерра i-го порядка (весовой функцией i-го порядка):

,

Такая замена приводит к записи формулы (23) в следующем виде:

Слева – выход модели, справа ряд Вольтерра.

Любую динамическую линейную систему без обратной связи, образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерционных нелинейностей, можно описать рядом Вольтерра.

Т.о., идентификация нелинейного ОУ включает в себя 2 этапа. На первом осуществляется описание нелинейного объекта в форме рядов Вольтерра или Винера. Первый ряд (ряд Вольтерра) представляется во временной области, ряд Винера – в частотной. Используется всевозможные представления (разложения) линейных и нелинейных безынерционных элементов по системам функций. Второй этап включает в себя идентификацию, которая заключается в оценке ядер Вольтерра или неизвестных коэффициентов разложения.

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента – раздел, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам.

Цель планирования – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а так же представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий).

• Во-первых, исследователь на этапе планирования эксперимента должен помнить, к какому классу относится моделируемая система (статическая или динамическая, детерминированная или стохастическая и т.д.).

• Во-вторых, он должен определить, какой режим работы системы его инте­ресует: стационарный (установившийся) или нестационарный.

• В-третьих, необходимо знать, в течение какого промежутка времени следу­ет наблюдать за поведением (функционированием) системы.

• Наконец, в-четвертых, хорошо было бы знать, какой объем испытаний (т.е. повторных экспериментов) сможет обеспечить требуемую точность оценок (в статистическом смысле) исследуемых характеристик системы.

Таким образом, планирование экспериментов преследует основные цели:

• сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов;

• повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

Поиск плана эксперимента производится в факторном пространстве.

Факторное пространство — это множество внешних и внутренних параметров модели, значения которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.

Пусть интересующее нас свойство объекта зависит от n независимых переменных и мы хотим выяснить характер этой зависимости о которой имеется лишь общее представление. Величина называется «отклик», а сама зависимость - функция отклика.

Независимые переменные называются факторами. Диапазоны изменения факторов задают область определения y.

Значения факторов обычно называются уровнями. Если при проведении эксперимента исследователь может изменять уровни, то эксперимент называется активным, в противном случае пассивным. Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого (среднего) уровня. Точка в факторном пространстве соответствующая нулевым уровням всех факторов называется центром плана.

Интервалом варьирования фактора называется некоторое число, добавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание – нижний уровень.

Статический объект с n входами и одним выходом

– входы ОУ, – выход ОУ.

(1)

где – некоторая функция.

Введем в рассмотрение вектор – функцию и вектор неизвестных коэффициентов .

Реакцию выхода можно записать в виде скалярного произведения (2):

(2)

Рассмотрим 2 частных случая:

1. ОУ – линейный

Тогда реакция выхода – (3):

(3)

Вектор – функция имеет вид . Включает n+1 компонент.

2. ОУ описывается квадратичной регрессионной моделью (4):

(4)

Число неизвестных коэффициентов k+1. Вектор функция имеет следующий вид:

.

Для оценки неизвестных коэффициентов необходимы данные о входах и выходах. Проведем N опытов. В результате имеем N состояний входов и N значений выхода: .

Матрица V размером N*n – матрица плана (план эксперимента). Матрица, составленная из результатов измерений входов:

Множество значений функции можно записать в форме матрицы F, размерностью N*(k+1):

.

Через обозначим вектор наблюдений выхода объекта(n – мерный вектор).

– модель объекта.

Тогда связь между выходом объекта и моделью устанавливается в соответствии с (5):

–уравнение идентификации (5)

где - ошибка идентификации.

Если предположить, что значения ошибки идентификации некоррелированные между собой, то оценка коэффициентов определяется как МНК оценка (6): (6)

Оценка выхода объекта: .

Оценка коэффициентов является несмещенной, точность определения коэффициентов определяется ковариационной матрицей (7):

(7)

которая оказывается равной соотношению (8):

где – дисперсия выхода ОУ.

– дисперсионная матрица.

Из (8) можно сделать вывод, что точность оценивания коэффициентов определяется планом эксперимента.

Основные понятия и определения планирования эксперимента

Определение 1.

Множество всех точек проведения экспериментов

Представляем с помощью матрицы плана V, называют планом эксперимента

Определение 2.

– центр плана (центральная точка плана).

Определение 3. План называется центральным, если его центр расположен в начале координат .

Определение 4. Область возможных значений независимых переменных (факторов) назы­вается областью планирования эксперимента.

.

Переход к стандартизованному масштабу может быть осущест­влен, например, следующим образом:

– значение i-й переменной в натуральном масштабе измерения.

Определение 5. Матрица размера называется инфор­мационной матрицей плана V

Определение 6. План V называется ортогональным, если информационная матрица диагональная:

Определение 7. План V называется ненасыщенным, если , и насыщенным, если .

Здесь – число точек плана, под которым понимается совокупность управляющих сигналов, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора;

– число оцениваемых коэффициентов.