Критерии планирования эксперимента
В
данном разделе адекватность модели
будем определять её значимостью по
Фишеру. Для вычисления фактического
значения Фишера необходимо определить
остаточную сумму:
и соответствующее этой сумме число
степеней свободы (N-n-1).
В
формулу входит отношение остаточной
суммы, приходящееся на одну степень
свободы. Если план будет насыщенным,
оценить значимость невозможно. Число
экспериментов должно превосходить
число оценивающих параметров, а
информационная матрица
должна быть невырожденной. Только в
этом случае система линейных уравнений,
к которой приводит МНК, имеет одно
решение.
Критерий ортогональности плана. Требует такого выбора плана, при котором информационная матрица диагональна.
Критерий
ротатабельности.
Требует такого расположения
экспериментальных точек в области
планирования
,
при котором дисперсия оценки выхода
ОУ
в
точке
зависит только от расстояния от этой
точки до центра плана.
Критерий
А-оптимальности.
Этот
критерий требует такого выбора плана
,
при
котором матрица
имеет
минимальный след (т. е. сумма диагональных
элементов матрицы D
минимальна).
Диагональные
элементы дисперсионной матрицы
представляют дисперсией оценок
коэффициентов регрессии поэтому данный
критерий требует минимальной средней
дисперсии оценок коэффициентов.
Критерий
D-оптимальности.
Этот критерий требует такого расположения
точек в области
,
при котором определитель матрицы
минимален или определитель матрицы
максимален.
Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
Выход объекта описывается линейной регрессионной моделью (1):
(1)
Объект имеет один вход и n выходов
Для оценки коэффициентов модели (1) предусматривается проведение N экспериментов. Результаты наблюдений за входами записываются в виде матрицы (план эксперимента):
Матрица
записывается на основании результатов
эксперимента
и единичной матрицы
.
Информационная матрица плана:
.
Требуется составить план проведения экспериментов, т.е. составить матрицу или , исходя из числа уровней варьирования факторов.
Различают два вида планов для линейных моделей: полные и дробные.
Полные факторные планы
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).
Для
оценки числа опытов необходимо задаться
числом уровней варьирования каждого
фактора. Выбирается минимальное число
уровней варьирования факторов. Общее
число различных комбинаций уровней в
ПФЭ для
факторов можно вычислить как:
.
где
– число уровней i-го
фактора.
Если
число уровней
для всех
факторов одинаково, то
,
где – количество экспериментальных точек плана (число возможных комбинаций уровней варьирования факторов);
– число уровней варьирования каждого фактора; – число факторов.
Обычно
переходят к нормированному факторному
пространству, предлагая минимизировать
и максимизировать уровни фактора:
.
Переход к нормированным уровням осуществляется по формуле (2); где входы со * – физическое значение входов, а без* – нормированное значение входов.
(2)
На практике стараются минимизировать и максимизировать значение факторов разделенных большим диапазоном, при этом факторы располагаются симметрично относительно среднего значения
Определение.
Множество
всех точек в
– мерном пространстве, координаты
которых
являются +1 (+) или -1 (-), называется
полным факторным
планом или планом
полного
факторного эксперимента
(ПФЭ) типа
.
Число точек в этом плане
.
Каждая вершина комбинация полного факторного эксперимента
Пример. При , равном 1, 2 и 3, матрицы планирования для факторных планов имеют вид (неповторяющиеся опыты).
.
Каждая комбинация – реакция.