Ротатабельный ортогональный центральный композиционный план

 

К использованному в качестве ядра плану ПФЭ 2ⁿ добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2ⁿ, то есть величина плеча “звездных” точек должна равняться радиусу R

n=1, ;

n=2, ;

n=3,

а) б)

- константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов.

где - число точек ротатабельного плана ПФЭ,

- полное число точек композиционного плана второго порядка.

В этом случае для РОЦКП число наблюдений в центре плана:

из ОКЦП

Техническая диагностика систем

Основные понятия

Техническая диагностика – научная дисциплина, исследующая формы проявления отказов в технических устройствах, разрабатывающая методы их обнаружения, а также принципы конструирования диагностических систем.

Техническое диагностирование (ТД) представляет собой процесс определения технического состояния объекта диагностирования (ОД) с определенной точностью. Итогом технического диагностирования (диагнозом) является установление технического состояния объекта.

Объект технического диагностирования – любое техническое решение, удовлетворяющее условиям:

1) они могут находиться, по крайней мере, в 2-х взаимоисключающих и различимых состояниях – работоспособном и неработоспособном;

2) в них можно выделить элементы, каждый из которых тоже характеризуется различимыми состояниями.

Различают следующие виды технич. состояния: исправность и неисправность, работоспособность и неработоспособность, правильное и неправильное функционирование.

Система называется исправной, если она соответствует всем предъявленным к ней требованиям, т.е. все параметры системы, как основные, так и второстепенные, находятся в некоторых заданных пределах. Выход из этих пределов любого из параметров означает, что объект неисправен.

Система работоспособна, если ее основные параметры находятся в пределах принятой нормы, и если она нормально выполняет заданные функции. Утрата работоспособности называется отказом.

Работоспособный объект может быть как исправным, так и неисправным. Исправный объект всегда работоспособен. Неисправный объект может быть как работоспособным, так и отказавшим. Отказавшая система всегда неисправна.

Исправный объект всегда работоспособен и функционирует правильно; неправильно функционирующий объект всегда неработоспособен и неисправен. Правильно функционирующий объект может быть неработоспособен и, значит, неисправен. Работоспособный ОУ также может быть неисправен.

Жизненный цикл объекта состоит из этапов проектирования, производства и эксплуатации.

Задача диагностирования состоит в том, чтобы своевременно обнаружить дефекты, найти места и причины их возникновения и, в конечном итоге, восстановить соответствие объекта техническим условиям (ТУ).

На этапе производства такая проверка позволяет узнать, сдержит ли созданный объект дефектные компоненты (детали, элементы, блоки, узлы), а их монтаж – ошибки. Проверка исправности является основой деятельности отделов технического контроля (ОТК).

На этапе эксплуатации главным является проверка правильности функционирования ОД, т.е. выявление неисправностей, нарушающих нормальную работу объекта в текущий момент времени.

Важной задачей ТД является поиск дефектов, включающий определение мест и, при необходимости, причин и видов неисправностей. После устранения дефектов объект становится исправен, работоспособен или правильно функционирует.

Система ТД представляет собой совокупность средств и объекта диагностирования, которая производит диагностику ОУ по правилам, установленным соответствующей документацией. Различают системы тестового и функционального диагностирования.

Система тестового диагностирования – это устройства, отдельные от ОД, в которых формируется специальное тестовое воздействие, подаваемое на вход объекта, реакции ОУ анализируются и обрабатываются.

Система функционального диагностирования – встроенное в объект устройство, осуществляющее обработку и анализ реакции объекта в режиме рабочего функционирования. Получение реакции возможно на основе элементарных проверок объектов. В результате получают значение реакции объекта, т.е. совокупность или последовательность значений диагностируемых параметров в контрольных точках. Тогда формальное описание процесса диагностирования, т.е. алгоритм технического диагностирования, представляющий собой последовательность элементарных проверок с правилами анализа их результатов. Диагноз есть результат реализации алгоритма диагностирования.

Контрольные точки – это входа и (или) выходы наиболее важных элементов и узлов диагностируемого объекта.

Определение технического состояния ОД состоит из отдельных экспериментов, каждый из которых характеризуется подаваемым на объект воздействием и составом контрольных точек, в которых фиксируется реакция ОД. Результатом элементарной проверки является набор значений сигналов в контрольных точках. Тогда алгоритм диагностирования ОУ представляет собой последовательность элементарных проверок и правил анализа результатов последних.

Результаты элементарных проверок, т.е. совокупности значений диагностических параметров в контрольных точках, характеризует состояние ОД.

Математические модели ОД.

Функциональные модели.

Функциональные модели – совокупность функциональных элементов и связей между ними. Функциональную модель можно сравнит с функциональной схемой. Задать функциональную модель – это указать все элементы и связи между ними. Рассмотрим ОД в виде следующей схемы:

V1 – V4 – внешние воздействия, Y – реакции.

Каждый элемент может находиться в 2-х состояниях: исправен или неисправен, работоспособен или неработоспособен. Исправное состояние элемента обозначается 1, неисправное – 0, выходы элементов y1,...,y5 – контрольные точки. Состояние объекта представлено в виде пятимерного вектора (по числу функциональных элементов). Если все элементы исправны, то вектор состояний объекта включает все единицы:

x0 = (1 1 1 1 1). Отказ элементов В1 и В2 представляется вектором состояний

x = (0 0 1 1 1).

Если элемент объекта исправен, то его реакция на допустимое воздействие является допустимой. Недопустимая реакция на выходе элемента значит, что либо этот элемент отказал, либо это элемент, выход которого соединен со входом данного.

Для анализа таких моделей составляют таблицу неисправностей, в которой строки соответствуют состояниям объекта, а столбцы – элементарным проверкам.

Через Пi , i=1,…,5 обозначают проверку, представляющую контроль реакции i-го элемента. Каждая проверка может иметь два исхода: Пi = 1, если реакция i-го элемента допустима, и Пi = 0, если недопустима.

Таблица 1

x	П1	П2	П3	П4	П5
11111	1	1	1	1	1
01111	0	0	1	1	0
10111	1	0	1	1	1
11011	0	0	0	0	0
11101	0	0	0	0	0
11110	1	1	1	1	0

Таблица составлена при условии однократных дефектах (неисправен только 1 элемент).

Неразличимые состояния получаются, если модель диагностирования содержит обратные связи.

Чтобы найти дефект, надо иметь в распоряжении результаты всех 5 проверок. Но контрольных точек может быть много.

Тесты для проверки работоспособности и локализации неисправностей.

1. Множество состояний объекта Х = {хi},

2. Множество проверок П = {Пj},

3. Множество А = {аij}, , результатов проверок.

Все эти три множества объединяются в одно множество Г: {xi, Пj, аij}, , причем каждой паре в тройке Г поставлен в соответствие один и только один элемент из множества А.

Состояние и называются различимыми на множестве П (обозначается ), если существует, по крайней мере, одна такая проверка , что . В противном случае состояния и называются неразличимыми.

R-множество пар различимых состояний из Х, причем пары исключаются.

Множество -- диагностический тест, на котором можно установить различимость состояний объекта.

Тест Т называется экспериментарным, если всякое подмножество не является диагностическим тестом. Тест, содержащий минимальное число проверок, будет называться минимальным диагностическим тестом.

Если в множество Х включено состояние -- «объект работоспособен», а в множество R – лишь пары вида , то произведение проверок, входящих в такой тест, позволяет обнаружить наличие любой неисправности, т.е. определяемы т.о. тест будет тестом для проверки работоспособности.

Если же в множество Х состояние х0 не включено, а множество R содержит все возможные пары различимых состояний, то тест позволяет локализовать любую неисправность, т.е. будет являться тестом для локализации неисправности.

Построение тестов.

1. Множество состояний объекта

2. Множество проверок

3. Множество результатов проверок

4. R-множество пар различимых состояний из Х, причем пары исключаются

Рассмотрим простейший случай однократных дефектов (неисправностей) – в любой момент времени неисправен только один функциональный элемент из множества.

Решение

Введем в рассмотрение множество векторов или набор .

Вектор (набор) определяет подмножество проверок , на котором два состояния ОД различимы, при этом соблюдаются следующие условия:

если , то

если , то

Число элементов в наборе равно числу проверок m.

Например, (4 функциональных элемента, 4 выхода, 4 проверки) и . Тогда -- требуется 2 проверки.

Формирование

Возьмем 2 состояния объекта , где (из таблицы дефектов):

Кадое состояние определяется по следующему правилу:

, если

, если

Вектор (набор) определяет подмножество проверок, на котором состояния различимы.

На основе множества векторов строится матрица М

Число столбцов в матрице М равно числу проверок в множестве П, и номер каждого столбца совпадает с номером проверки из П. Т.к. Все пары состояний из R различимы, то матрица М не содержит строк, состоящих только из нулей. Построенную т.о. матрицу называют булевой матрицей.

Таблица 2

Наборы e0	П1	П2	П3	П4	П5	П6
1	1				1
2	1	1	1
3	1	1		1		1
4		1		1
5						1
6			1	1
7				1	1

Две задачи:

1. Задача построения минимального диагностического теста: для данной булевой матрицы найти минимальное множество столбцов так, чтобы каждая строка имела 1, по крайней мере, в одном из столбцов матрицы.

2. Задача построения всех элементарных диагностических тестов

Все решения первой задачи могут быть получены из решения второй задачи.

Диагностический тест – подмножество проверок, на котором различимы все состояния объекта диагностирования.

Минимальный тест – диагностический тест, исключение из которого одной проверки приводит к его ликвидации.

Первая задача для таблицы 2 имеет три решения:

1)

2)

3)

Вторая задача в дополнение к перечисленным трем решениям имеет еще три решения:

4)

5)

6)

Аналитический путь. Таблица 2 как таблица истинности. Используют конъюнктивную форму представления функции (каждая строка таблицы представляется как дизъюнкция – только те проверки, результаты которых равны 1).

Элементы, входящие в одно слагаемое (конъюнкция) логического выражения, порождают множество, которое является элементарным диагностическим тестом.

Пример

Рассмотрим диагностируемый объект, состоящий из 5 функциональных элементов В1,В2,В3,В4,В5, соединенных по схеме (рис. 3); y1,y2,y3,y4,y5 – выходы функциональных элементов (направление внешних воздействий V1 и V2 указаны стрелками). Предположим, что неисправная работа объекта диагностики вызывается наличием только одной неисправности, которая локализуется внутри функционального элемента.

Рис. 3

Тогда множество возможных состояний диагностируемого объекта будет состоять из пяти элементов:

01111 – х1(В1) – неисправный элемент В1;

10111 – х2(В2) – неисправен В2;

............

11110 – х5(В5) – неисправен В5.

Множество возможных проверок определяется 5-ю элементами

П1(y1) – проверка состояния функционального элемента В1 по его выходу y1;

.................

П5(y5) – В5 по выходу y5.

Множество результатов проверок будет состоять из 2-х элементов :

0 – выход функционального элемента не в норме;

1 – выход функционального элемента в норме.

Тогда табл. состояний диагностируемого объекта запишется в виде:

Табл. (*)

	П1	П2	П3	П4	П5
х1(В1)	0	0	1	1	0
х2(В2)	1	0	1	1	0
х3(В3)	1	0	0	0	0
х4(В4)	1	1	1	0	0
х5(В5)	1	1	1	1	0

5 столбец можно исключить

На основании таблицы неисправностей составляют булеву матрицу. Берем попарно неразличимые состояния

	П1	П2	П3	П4
(x1,x2)	1	0	0	0
(x1,x3)	1	0	1	1
(x1,x4)	1	1	0	1
(x1,x5)	1	1	0	0
(x2,x3)	0	0	1	1
(x2,x4)	0	1	0	1
(x2,x5)	0	1	0	0
(x3,x4)	0	1	1	0
(x3,x5)	0	1	1	1
(x4,x5)	0	0	0	1

По данной таблице составляют логическое выражение:

-- 3 проверки

Проверки (по табл. (*)):

1. П1 =0, П2=0, П4=1 – неисправен В1

2. П1=1, П2=0, П4=1 – неисправен В2

3. П1=1, П2=1, П4=0 – неисправен В4

Оценка работоспособности ОД

Сколько необходимо проверок и каких, чтобы оценить работоспособность объекта.

Если выход 5-го элемента допустим, то объект работоспособен.

	П1	П2	П3	П4	П5
(x0,x1)	1	1	0	0	1
(x0,x2)	0	1	0	0	1
(x0,x3)	0	1	1	1	1
(x0,x4)	0	0	0	1	1
(x0,x5)	0	0	0	0	1

5 столбец – тест, включающий одну проверку П5.

Дифференциальные модели ОД

В ряде случаев в качестве диагностируемой модели можно рассмотреть характеристическое уравнение и анализируемое изменение коэффициентов или полюсов этого уравнения.

Условия работоспособности в области коэффициентов уравнения могут быть получены методом малого параметра. Пусть ОД описывается ДУ n-го порядка

, (1)

f(t) – известная правая часть,

(1) – неоднородное ЛДУ.

Полагая f(t)=0, переходим к однородному ДУ. Заменяя производные на оператор дифференцирования р, получим характеристическое уравнение

(2)

Коэффициенты этого уравнения, которые описывают работу объекта в начале эксплуатации, называют номинальными коэффициентами, полюса уравнения обозначают .

В результате старения элементов в процессе эксплуатации изменяются коэффициенты характеристического уравнения, и на каком-то этапе уравнение преобразуется в (3)

(3)

где -- значения коэффициентов, соответствующие стареющим элементам,

-- изменения коэффициентов относительно номинальных значений.

Уравнение (3) будет иметь и др. полюсы в результате изменения коэффициентов :

-- функция изменения

Будем считать, что изменения не очень большие, тогда полюсы уравнения (3) разложим в ряд Тейлора в окрестности номинальных коэффициентов (в окрестности полюсов ) и ограничимся линейной моделью ряда, т.е. первыми двумя членами:

, (4)

-- вектор.

Т.о., если условия работоспособности объекта задать ограничением на перемещение корней характеристического уравнения

,

то в области коэффициентов изменение можно определить из условия

Оценка коэффициентов ДУ (или характеристического полинома ПФ) осуществляется одним из методов идентификации.

Пример

Объект описывается ПФ

Характеристическое уравнение:

, где

Известны параметры системы

Тогда , и корни характеристического уравнения:

Предполагая, что изменяются параметры и , получим уравнение:

(5)

Находим полный дифференциал характеристического уравнения:

Получаем

(6)

Вычислим входящие в правые части (6) величины

Тогда

Т.о., соотношение (4) принимает вид:

В комплексной плоскости условия работоспособности объекта определяются допустимыми перемещениями полюсов

,

а в области коэффициентов необходимо соблюдение условий