Байесовский метод диагностики

Постановка задачи:

Работа непрерывных ОУ характеризуется параметрами, непрерывно изменяющихся во времени. Параметр y называется диагностическим, если выход его значения за допустимые пределы является признаком изменения состояния ОД.

Контроль непрерывного параметра заключается в его измерении и проверке выполнения неравенства: .

Каждому диагностируемому параметру ставится в соответствие диагностируемый признак .

(1а)

В общем случае непрерывный ОД характеризуется некоторым множеством диагностируемых параметров определяют состояние объекта. Каждый из признаков принимает два значения.

Тогда состояние ОД можно описать вектором признаков . Будем считать, что признаки являются независимыми случайными дискретными величинами, которые характеризуются вероятностями появления . Совместная вероятность появления признаков будет равна

(1б)

ОД может находиться в нескольких возможных состояниях – диагнозах (исправное, неисправное, работоспособное, неработоспособное и т.д.). Каждый диагностируемый параметр (признак) с определенной вероятностью характеризует состояние системы. Требуется построить алгоритм диагностирования (решающие правило), с помощью которого можно оценить состояния ОД.

Решение:

Пусть ОД находится в одном из состояний (диагнозах) , которые образуют группу несовместных событий. Это означает, что одновременно может быть поставлен только один диагноз . Из опыта эксплуатации известны вероятности нахождения ОД в состоянии .

Вероятность – априорная вероятность диагноза.

Например при наблюдении за объектами имелось состояние , тогда

(2)

При этом должно выполняться условие нормировки (3):

(3)

Если какая – либо из диагностик параметров выходит за допустимые пределы (появляется дефект), возникает признак (событие) , означающее переход ОД в некоторое состояние .

Например, если среди объектов, имеющих диагноз , признак наблюдается у систем, то вероятность появления признака у ОД в состоянии равна: (4)

(4) – условная вероятность появления признака, при условии, что объект находится в состоянии.

Теперь задача диагноза может быть сформулирована следующим образом: У объекта наблюдается признак , то есть вышел за допустимые параметры .

В каком состоянии находится ОУ.

Обозначим через – вероятность того, что ОД находится в состоянии если наблюдается признак . Эта вероятность называется апостериорной вероятностью диагноза. Определение является целью диагноза.

Введем в рассмотрение совместные вероятности того, что ОД находится в состоянии при наличии признака :

(5)

где – безусловная вероятность появления признака .

Разрешая (5) относительно апостериорной вероятности диагноза (нахождения объекта в состоянии). Получаем формулу Байеса (6):

(6)

Величина и должны быть известны из статистических данных, полученных в процессе эксплуатации. Найдем вероятность . Состояние возникает вместе с одним из несовместных событий , поэтому :

(7)

или

(8)

Формула (8) определяет вероятность события , происходящего вместе с полной группой независимых событий , характеризующих состояния системы с учетом (8).

Формула Байеса принимает вид:

(9)

В силу нормировки сумма апостериорных вероятностей диагноза для данного признака равна 1.

(10)

Состояние ОД характеризуется множеством диагностируемых параметров и в результате измерений становится известен вектор признаков . Тогда формула Байеса (9) примет вид:

Где – апостериорная вероятность диагноза при известном векторе признаков .

При условии независимости диагностируемых признаков величина рассчитывается по формуле

(11)

Решающее правило в методе Байеса в соответствии с которым принимается решение о диагнозе: ОД с вектором признаков находится в состоянии с наибольшей апостериорной вероятностью , то есть для диагноза выполняется условие:

(12)

Часто для принятия решения вероятность (12) сравнивается с пороговым значением вероятности диагноза : принимается диагноз , если выполняется: (13)

Особенностью байесовского метода является большое количество информации, необходимой для нахождения апостериорной вероятности, что не всегда является возможным.