В общем случае получаем

Подобным образом вычисляются интегралы, стоящие в левой части (3):

Получаем систему:

(4)

Если выполняется условие совместности, то (4) имеет решение (находят n+m+1 коэффициентов).

Но наблюдения искажены помехами, что снижает точность вычисления коэффициентов. Чтобы повысить точность, выбираются больше значений функций.

Число уравнений больше числа неизвестных и можно использовать МНК, т.е. получем МНК – оценки коэффициентов.

Конструкция модулирующих функций

(5)

Например ,

где – произвольные числа.

– обеспечивает линейную независимость системы функций, при .

Пример: Объект описывается ПФ:

или .

В качестве воздействия .

Дифференциальное уравнение: .

Выход: .

В качестве моделирующих функций:

.

.

Вычисляем все интегралы и составляем систему из алгебраических уравнений и так далее.

Применение дискретных моделей для идентификации непрерывного оу

Постановка задачи та же самая, что и в методе выше:

(1)

где

Задача заключается в нахождении n+m+1 коэффициентов по результатам измерений и в дискретные моменты времени .

1. Так как измерение в виде массива, необходимо составить дискретную модель ОУ. В качестве метода составления дискретной модели используют следующее (соотношение между z и p переменными)

Составление дискретной модели ОУ:

(используется первый член степенного ряда ln)

z будем представлять в виде оператора сдвига на один период в сторону опережения, т.е. (2)

ДУ(1) приводится к разностному уравнению (3):

(3)

Это уравнение является дискретной моделью непрерывного объекта, а коэффициенты – функциями коэффициентов ДУ(1)

(4)

2. Введём в рассмотрение дискретные операторные ПФ:

и выход объекта запишем через передаточную функцию .

Оценку выхода объекта вычислим так же как и выход объекта, за исключением того, что коэффициенты ПФ объекта заменяются оценками:

(5)

Оценки вводятся так как точное определение коэффициентов ПФ невозможно, так как вход и выход объекта искажены помехами.

Вводим ошибку идентификации:

(6)

На основании ошибки формируется квадратичный критерий идентификации, который является функцией оценок коэффициентов:

,

Приводим (6) к общему знаменателю и получаем:

Приходим к оптимизации задачи, решение которой находим оценки коэффициентов , и решая систему из (n+m+1) уравнений оценки коэффициентов ДУ .

Непараметрические модели идентификации

Под непараметрической моделью при идентификации ОУ понимают импульсную переходную (весо­вую) функцию , а также амплитудную и фазовую харак­теристики и .

Рассмотрим весовую функцию.

Объект имеет один вход один выход связь между входом и выходом в установленном режиме определяется (1)

(1)

где

.

Объект физически реализуется. Чтобы оценить весовую функцию должны быть получены реализации вход/выход объекта на некотором интервале, а, следовательно, верхний предел выражения (1) надо заменить на некоторую конечную величину.

Для устойчивых ОУ

За пределами интервала , ( ). Момент времени начиная с первого весовая функция не выходит за предел трубки, называют временем регулирования (время установления).

.

Два способа оценивания весовой функции.

1. Разложение весовой функции.

Весовая функция как функция времени представляется взвешенной суммой:

где – выбранная система функций, об­ладающих следующими свойствами:

(физически реализуется).

(устойчивая).

Структура разложения:

Если коэффициенты разложения будут определены, то выход структуры будет представлять оценку выхода объекта, а сама структура – модель весовой функции. Выходы отдельных блоков определяются интегралом.

.

Для нахождения коэффициентов необходима реализация входа и выхода. Качество идентификации оценивается интегральной невязкой между выходом модели и выходом ОУ .

Необходимо найти k частных производных и приравнять их к нулю.

Получаем систему алгебраических уравнений:

.

Пример. В качестве системы весовых функций выберем следующую:

.

где – параметр. Каждой функции из этой системы соответствует динамическое звено с передаточной функцией:

Количество функций, которыми представляется весовая функция объекта, обычно определяется эмпирически.