Планы второго порядка

ОУ имеет 1 выход и n входов (факторов) и описывается квадратичной моделью вида

-- скаляр, -- скалярное произведение, -- квадратичная форма относительно матрицы C.

Полный квадратичный полином при n=2 содержит 6 членов.

n=3 – 11 членов

Для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.

Полные факторные планы

Пример:

Альтернативой планам с варьированием факторов на 3-х уровнях являются композиционные планы, основой которых является полный факторный эксперимент вида . К этим опытам добавляются другие фрагменты, содержащие опыты в центре плана и опыты в «звездных» точках. Эти планы позволяют использовать информацию, полученную при реализации линейного плана .

Область планирования должна:

-- включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называют композиционными);

-- не выходить за пределы единичного гиперкуба, т.е. для всех точек плана выполняется условие

-- не выходить за пределы единичного гипершара, определяемого соотношением таких значений факторов в плане, что .

Ортогональный центральный композиционный план второго

порядка.

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N_ij = 2ⁿ точками плана, n₀ (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора

,

– плечо “звездных” точек.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет

,

где для ОЦКП n₀=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3ⁿ .

n	2	3	4	5	6
ОЦКП	9	15	25	43	77
ПФЭ 3n	9	27	81	243	729

Ортогональность плана:

Симметричность:

Преобразование элементов осуществляется в виде

,

где а – величина, зависящая от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов

Откуда

.

Условие ортогональности для столбцов и

После преобразований получаем (1)

(1)

Принимая во внимание , разделим на обе части последнего выражения. Получим

(2)

Для упрощения этого выражения рассмотрим формулу для определения а:

Заменим в формуле (2) на

,

.

.

Плечо звездных точек

. (3)

При n=3

,

.

Ротатабельные планы

 

Ротатабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах)

В таком случае точность оценивания модели по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая.

Рассмотренный ранее план ПФЭ 2ⁿ – ротатабельный симметричный план первого порядка.

У ротатабельных планов второго порядка точки плана располагаются на двух концентрических гиперсферах с радиусами R₁ и R₂

,

В частном случае R2 может быть равно нулю (несколько центральных точек).

Ротатабельный план может быть ортогональным, если выполняется условие:

(1)