Или более компактно, введя реакции динамических звеньев (5):

(4)

где (5)

Если – выход ОУ, то ряд (4), (5) описывает модель этого ОУ:

(6)

Весовые функции и подлежащие определению на основе измерений входа и выхода.

Ядра Вольтерра должны удовлетворять следующим условиям:

1) , если (физически реализуемо).

2) .

Одним из способов нахождения импульсной переходной характеристики Вольтерра может быть введение ошибки идентификации и критерия 7:

(7)

Интервал – интервал, в течении которого переходной процесс можно считать законченным.

Задача заключается в подборе весовых функций различных порядков, при которых критерий идентификации (7) достигал бы минимума. Эта задача решается на основе входа и выхода зафиксированного на [0,T].

На практике используется другой способ нахождения ядер Вольтерра. Один из методов заключается в конструировании из реакций ОУ такого выражения, которое было бы с определенной точностью равно тому слагаемому ряда Вольтерра

– воздействие на ОУ. Тогда реакция ОУ на вход будет равна:

(8)

Величина выбирается такой, чтобы объект работал в слаболинейном режиме. Совершается несколько экспериментов. Выбирается n не равных нулю и различных коэффициентов на каждый из которых умножаем входное воздействие и измеряем реакцию объекта на каждое из этих воздействий. Формируем взвешенную сумму этих реакций:

(9)

где – вещественные числа, которые выбираются таким образом, чтобы в правой части (8) осталось только одно слагаемое с номером m. Это означает, что все слагаемые в правой части обращаются в нуль, а одно слагаемое = 1. Все коэффициенты в (10) после подстановки (8) в (9) равны 0, кроме m-того:

(10)

Коэффициент пи m-кратном интеграле должен быть равен 1.

Исходя из этих условий получаем систему (11):

(11)

Решая систему находим коэффициенты .

В качестве входного воздействия выбираем (дельта – функция).

Условие (11) изменяется, единица перемещается в первую позицию, все остальные =0. Это означает, что из правой части (10) выделяется первый функционал вида (12):

(12)

При данном входе используя фильтрующие данные дельта-функции, получаем ядро Вольтерра первого порядка. Чтобы окончательно найти ядро, необходимо аппроксимировать функцию F1(v(t)). Находим оценку ядра вольтерра первого порядка.

Подобным образом находим второе ядро. В (11) второе условие = 1, а все остальные нули.

и т.д.

Недостатки способа:

1. Сложно смоделировать дельта – функцию, несоответствие ей входного сигнала приводит к ошибке.

2. Как правило при описании нелинейного объекта моделью Вольтерра ограничиваются 4-5 членами ряда. Такое ограничение приводит к дополнительным ошибкам.

3. Вычисление правой части (9) осуществляется с ошибками, так как это действие осуществляется графически.

Другой способ – параметризация задачи, то есть представление функции в виде разложения по системам функций. Пусть оценка выхода нелинейного объекта представленная двумя первыми функционалами Вольтерра (n=2)

(13)

Ядро раскладывается до системы функций (13а) ( ядро первого порядка) а ядро второго по системе (14)

(13а) (14)

Если k=2, то ядро второго порядка:

Подставляя выражения (13a), (14) в (13), получаем:

(15)

где

— реакция линейного элемента с весовой функцией на входной сигнал ;

Теперь задача идентификации сведена к определению параметров разложения (15), то есть Общее число этих параметров .

Для оценки коэффициентов необходимо зафиксировать реализацию входа и выхода нелинейного объекта, затем составить критерий идентификации и решить оптимизационную задачу определения коэффициентов, минимизирующий данный критерий.

Модель Гаммерштейна

Модель с одним входом и одним выходом.

y(t)

z(t)

v(t)

Это тот случай, когда нелинейный динамический объект можно представить в виде последовательного соединения нелинейного безинерционного звена со статической характеристикой и линейного динамического звена с весовой функцией . На входе такой модели входное воздействие , – оценка выхода объекта (выход модели).

(16)

Задача идентификации включить оценку двух функций и .

Из схемы модели следует, что выход модели описывается выражением (16).

Покажем, что статические характеристики безинерционного элемента хорошо аппроксимируется степенным рядом (17):

(17)

Весовую функцию линейного динамического звена разлагаем по системе известных функций : (18)

Подставляя (17), (18) в (16), получаем:

Введя обозначения получим (19):

(19)

где .

получим: (20)

Задача – оценка коэффициентов .

– ограниченны временем регулирования.

Вводим критерий идентификации:

Модель Винера

ОУ - последовательное соединение динамического линейного звена с весовой функцией и нелинейного безинерционного .

y(t)

z(t)

v(t)

Выход динамического линейного звена (результат свертки):

(21)

Выход модели: (22)

Статическую характеристику представляют степенным многочленом с неизвестными коэффициентами .

Если в (18) z заменить линейной сверткой, то выход модели можно представить выражениями (23):

(23)