Оценка значимости модели и ее параметров

Вводится сумма квадратов отклонений выхода объекта от его среднего значения:

(18)

где .

Если предположить, что остаточный ряд некоррелирован ни с одним из входов объекта, что часто выполняется, то сумма квадратов отклонений выхода можно представить в виде суммы двух слагаемых – (18). Правое слагаемое – сумма квадратов отклонений выхода модели от среднего значения выхода объекта – факторная сумма, т.к. порождена выходом модели, а выход модели зависит от наблюдаемых входов.

– сумма квадратов отклонений выхода ОУ относительно среднего значения (общая сумма квадратов).

– сумма квадратов отклонений, вызванная переменными модели (объясненная часть),

– сумма квадратов остатков (необъясненная часть).

– результат неучтенного действия ненаблюдаемых факторов, показывающих часть дисперсии, которая порождена ненаблюдаемыми факторами. Левая часть (18) включает две составляющие:

первая – объясняет действие факторов,

вторая – ненаблюдаемые факторы.

Для оценки значимости модели используют коэффициент детерминации:

(19)

Показывает, какую долю составляет дисперсия факторов модели в общей дисперсии выхода объекта. Дисперсия выхода объекта пропорциональна общей сумме квадратов отклонений, стоящих в левой части (18). Дисперсия факторов пропорциональна факторной сумме, дисперсия остатков пропорциональна остаточной сумме квадратов.

Если модель абсолютно точно описывает объект, т.е. выход модели эквивалентен выходу объекта (учли все факторы, влияющие на выход), поэтому остатки равны 0 и , т.к. факторная сумма равна общей сумме ( является индикатором, оценивающим правильность полученной модели).

Каждой сумме квадратов, входящей в (18) соответствует число степеней свободы, показывающих независимые изменения той или иной величины.

– число степеней свободы.

N находят из среднего значения выхода. Под числом степеней свободы понимают число измерений – число констант, вычисляемых на их основе. На основе N – измерений вычисляют среднее значение.

– выход формируется на основе регрессии, учитывающей n входов. n – число факторов, используемых в модели.

Когда число измерений небольшое по сравнению с числом факторов, коэффициент детерминации (19) дает завышенный результат ( , когда модель незначима).Используют (20):

(20)

Используется сумма квадратов на одну степень свободы.

Критерий Фишера

Значимость модели в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(21)

где – факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

– остаточная сумма квадратов на одну степень свободы.

N – число наблюдений, n – число факторов.

Вычисляется фактическое значение F – критерия по формуле (21). Затем задаются уровнем значимости и по таблице распределения Фишера для степени своды n, которая соответствует , определяются табличные значения распределения Фишера.

Вывод: Модель считается статистически значимой (существенной), если фактическое значение F-критерия (F) превосходит табличное его значение при заданном уровне значимости , т.е. . Если условие не выполняется, то регрессионная модель неадекватна.

Чтобы исключить несущественные факторы, влияющие на выход модели, используется оценка значимости коэффициентов регрессии.

Наблюдение за объектом представим в виде (22):

– регрессионная модель. (22)

Точность оценивания коэффициентов регрессии определяется ковариационной матрицей:

1. Если о случайном процессе (22) все известно и известна его дисперсия, то:

(23a)

2. Дисперсия неизвестна. Вместо дисперсии случайной величины используют дисперсию остатков:

(23б)

– используется оценка дисперсии случайной величины в виде дисперсии остатков. Для вычисления дисперсии находится остаточная сумма , число степеней свободы, которые ей соответствуют и остаточная сумма, приходящаяся на одну степень свободы принимается за дисперсию остатков.

Находим ковариационную матрицу оценок, по которым находится дисперсия оценок коэффициентов, которые являются диагональными элементами:

(24)

Для каждой оценки коэффициентов рассчитывается отношение:

– коэффициент значимый (существенный),

– критическое значение распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и степеней свободы.

Если выполняется условия, то оценка коэффициентов считается значимой, т.е. наблюдаемый вход модели существенно влияет на её выход. В противном случае делается вывод, что соответствующий вход не существенно влияет на выход и его можно исключить, считая соответствующую оценку коэффициентов равной нулю.

Т.е. после получения модели необходимо совершить множество действий для принятия модели к практической реализации.