Правило построения полных факторных планов

Утверждение. Матрица планирования факторного плана может быть получена с помощью матрицы плана по формуле

.

Полный факторный эксперимент обладает свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого, равна нулю, например

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной

.

Если полный факторный эксперимент удовлетворяет этим трем условиям, то оценки коэффициентов регрессии являются независимыми величинами, и дисперсия ошибок определения оценок определяется:

,

-- дисперсия ошибки наблюдения выхода объекта (дисперсия случайной составляющей).

С увеличением числа факторов (входов объекта) число опытов быстро возрастает, и число степеней свободы для оценки адекватности становится чрезмерным. В этом случае, если позволяет точность, можно перейти к дробным факторным планам, которые представляют фрагменты полного факторного эксперимента.

Дробные факторные планы (дробный факторный эксперимент)

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется некоторая часть полного факторного эксперимента, выбранная по определенному правилу.

ПФЭ (если планируется полный факторный эксперимент, то число опытов ).

Например, при n = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней

При этом из множества точек факторных планов может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план (ДФЭ)

План, включающий только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающий четвертую часть опытов – четверть репликой и т. д.

Краткое обозначение указанных дробных реплик – 2^n-1, 2^n–2.

Правило построения дробных факторных планов

ДФП типа : основных

факторов ПФЭ

ДФП типа строится след. образом. Из n факторов выбирают

основных факторов. На них строится ПФЭ с матрицей . Этот план затем дополняют столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Эти столбцов формируются на основании алгоритмов, которые называют генераторами плана.

Генератор плана представляет собой произведение основных факто­ров, определяющее значение элементов каждого из дополнитель­ных столбцов матрицы плана. Для формирования каждого из столбцов используют свой генератор плана. Это произведение включает в себя от 2 до факторов. Для построения требуется генераторов.

Построение дробного факторного плана для п = 3

- исходные факторы

- основные факторы

Построим ДФП в виде полуреплики . Из исходных факторов выделим 2 основных и на этих основных факторах построим полный факторный план . Этот план включает в себя 4 эксперимента и 2 фактора.

-1	+1	-1
+1	+1	+1
-1	-1	+1
+1	-1	-1

Чтобы сгенерировать значение 3-го столбца, используют генератор плана. Единственное произведение -- генератор плана.

ДФЭ - 2^3-1 = 4

ПФЭ - 2³ = 8

Полученный дробный план является полурепликой факторного плана 2³.

Построение дробных факторных планов для = 4.

Исходные факторы , , ,

Основные факторы , ,

+1	+1	+1	+1
-1	+1	+1	-1
+1	-1	+1	-1
-1	-1	+1	+1
+1	+1	-1	-1
-1	+1	-1	+1
+1	-1	-1	+1
-1	-1	-1	-1