§4. Температура ― мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Чтобы выяснить физический смысл температуры с точки зрения молекулярно-кинетической теории, используем основное уравнение кинетической теории газов для давления

(47)

При постоянном объёме V=const газа и постоянном в нём числе молекул N=const (когда и концентрация молекул n=N/V =const) из этого уравнения следует, что давление идеального газа пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения его молекул:

(48)

Р ~ , (V = const, N = const)

С другой стороны, шкала температур Кельвина строится так, что о давлении идеального газа при постоянном объёме V=const и постоянном числе N=const частиц в эталонном термометре принимается пропорциональным его температуре (см. формулу (36)):

(49)

Р~Т, (V=const, N= const)

Поэтому, исходя из соотношения (48) и (49), можем утверждать, что температура газа пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул

(50)

По определению полагают температуру θ, выраженную в энергетических единицах (джоулях), равной 2 /3, т. е.

(51)

Однако практически пользоваться энергетическими единицами для измерения температуры неудобно, так как обычно встречающиеся температуры выражались бы при этом ничтожно малыми числами (связано это с малостью средней кинетической энергии Е_К молекулы). К примеру, температура кипения воды, выраженная в джоулях, равна Дж. По этой причине, а также потому, что понятием температуры пользовались ещё задолго до того, как были развиты молекулярно-кинетические представления, выявившие её истинный смысл, и для температуры уже давно была выбрана единица измерения ― градус, принято пользоваться и в настоящее время этой единицей, несмотря на её условность.

Но если температуру измерять в градусах, то необходимо ввести коэффициент, переводящий единицы энергии (джоули) в градусы (Кельвины), т. е.

(52)

θ=kT

Коэффициент k называют постоянной Больцмана, которая является одной из важнейших фундаментальных констант физики. Её численное значение находится из опыта и по современным данным Дж/к. Из (52) видно, что переводной коэффициент k численно равен количеству джоулей, соответствующих одному Кельвину.

Из (51) и (52) следует, что

(53)

§5 Уравнение Менделеева-Клапейрона. Следствие из этого уравнения.

Из уравнений (47) и (53) следует, что

(54)

Р = nkТ

Учитывая, что n = N/V и N/N_А = m/μ = ν, получим

(55)

где введена постоянная R=kN_A=8,31Дж/мольּК, которую называют универсальной газовой постоянной. Физический смысл её установим из уравнения (55)

(55)

которое называют уравнением Менделеева-Клапейрона. Для этого запишем уравнение (55) для двух состояний изобарического процесса:

PV₁ = νRT₁

РV₂=νRТ₁

О ткуда находим

(56)

Обозначая V₂ – V₁=ΔV, T₂ – T₁=ΔT и учитывая, что работа при изобарическом процессе А =РΔV, из (56) найдём R.

(57)

т.е. постоянная R численно равна работе при изобарическом нагревании на один кельвин (ΔТ = 1К) одного моля (ν = 1 моль) идеального газа. Так как k = R/N_A, то постоянная Больцмана имеет тот же смысл, что и R, только рассчитанная на одну молекулу.

Из уравнения состояния идеального газа (55) можно получить известные из опыта газовые законы.

1. Полагая в уравнении (55) ν = const и Т = const, получаем

(58)

PV = const

Отсюда вытекает формулировка закона Бойля-Мариотта (изотермический процесс): при неизменных массе и температуре идеального газа произведение его объёма на давление есть величина постоянная.

2. При изобарическом процессе P = const и ν = сonst. Поэтому из уравнения состояния (55) в этом случае

(59)

т.е. при неизменных массе и давлении идеального газа отношение объёма, занимаемого газом, к его температуре ― величина постоянная. Это утверждение известно как закон Гей-Люссака.

3. Пусть процесс протекает при постоянном объёме V=const (по-прежнему ν = сonst). Тогда из (55)

(60)

т.е. при неизменных массе и объёме идеального газа отношение давления газа к его температуре есть величина постоянная. Уравнение (60), называемое уравнением изохорического процесса, выражает известный закон Шарля.

4. Из уравнения (55) также следует закон Авогадро, согласно которому при одинаковых давлениях и температурах в равных объёмах любого газа содержится одинаковое число молекул. Действительно, пусть имеются два одинаковых объёма двух различных газов при одинаковых давлениях и температурах. Для каждого из них можно написать уравнение состояния (55)

PV = N₁kT PV = N₂kT,

где N₁ и N₂ ― число молекул обоих газов. Из этих равенств непосредственно следует, что N₁ = N₂. Это и есть закон Авогадро. Из него, очевидно, следует и обратная формулировка: различные газы, но содержащие одинаковое число молекул, будут при одинаковых давлениях и температурах занимать одинаковые объёмы. Поэтому моль любого газа при данных давлении и температуре занимает одинаковый объём. В частности, при нормальных условиях (Т₀ = 273,15 К, Р_атм = 1,05ּ10⁵ Па) моль любого газа занимает объём

5. Наконец, следствием уравнения идеального газа является и закон Дальтона, утверждающий: давление смеси химически не реагирующих газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов. Парциальным давлением называют давление, которое создал бы газ, если бы он находился один в объёме, занятом смесью.

Для доказательства закона Дальтона учтём, что в смеси нескольких газов общее количество молекул равно сумме количеств молекул отдельных газов

(61)

Подставим (61) в (55)

(62)

Каждое из слагаемых выражения (62) представляет собой парциальное давление. Поэтому

(63)