Приложение а. Основные понятия теории вероятностей

§1. Понятие вероятности события

Под событием в теории вероятностей понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Разные события имеют разную возможность наступить. Чтобы количественно сравнить события по степени возможности наступить с каждым событием связывают определённое число, называемое вероятностью события, которое тем больше, чем более возможно событие. В качестве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события. Так же естественно, невозможному событию приписать вероятность равную нулю. Таким образом, по определению, диапазон изменения вероятностей — [0,1], т.е. вероятность возможного, но недостоверного события А:

(А1)

где буквой Р обозначена вероятность события А.

Введём некоторые вспомогательные понятия.

1. Говорят, что события А₁, ..., А_n образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно наблюдается одно из них.

К примеру, выпадение орла (событие A₁) и выпадение решки (событие А₂) при бросаниях монеты образуют полную группу событий. Так же образуют полную группу шесть событий наблюдаемых при бросании игральной кости (кубика из однородного материала).

2. События А₁, ..., А_n в данном опыте называют несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе.

3. События А₁, ..., А_n в данном опыте называют равновозможными (равно­вероятными), если по условиям симметрии опыта следует считать, что ни одно из этих событий не имеет объективного предпочтения перед другим в возможности наступить.

Очевидно, что события в каждом из двух выше приведённых примерах несовместны, равновероятны и образуют полную группу событий.

Если исходы некоторого опыта образуют полную группу несовместных и равновероятных событий (тогда говорят о схеме случаев), то вероятность каждого из этих исходов (событий), очевидно, можно вычислить по формуле

(А2)

где m — число случаев, благоприятных событию А, а n — общее число случаев.

Пример. Пусть имеется закрытый сосуд с воздухом, который разделён на три равные по объёму части. Введём в сосуд молекулу эфира. Обозначим через А_i (i = 1, 2, 3) событие, состоящее в том, что молекула эфира будет обнаружена в i-ой части сосуда. Очевидно, что события A₁, А₂, А₃ образуют полную группу событий, они несовместны, т.е. нельзя одновременно обнаружить молекулу эфира в двух разных объёмах, и равновозможны, т.к. нет объективных причин утверждать, что молекула предпочтёт находиться чаще, к примеру, во втором из равных объёмов, чем в первом или третьем (предполагается отсутствие внешних полей). Поэтому согласно (А2) вероятность встретить молекулу эфира, к примеру, во второй части объёма сосуда Р(А₂)=1/3.

Формула (А2) для непосредственного подсчёта вероятностей применима только, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее событие, обладает симметрией возможных исходов. Однако, существует обширный класс случайных явлений, в которых вероятности тех или иных событий нельзя вычислить так просто. К примеру, невозможно по формуле (А2) вычислить вероятность следующего события: случайно взятая молекула воздуха имеет скорость, заключённую в интервале от 400 м/с до 500 м/с.

Чтобы уметь вычислять вероятность подобных событий, необходимо знать некоторые теоремы теории вероятностей.