§11. Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов. Вычисление энтропии идеального газа.

Второе начало термодинамики для обратимых процессов, устанавливающее существование у всякой системы энтропии, определяемой формулой

(163)

или формулой

(164)

хотя и не раскрывает в полной мере физический смысл этой величины, но оно позволяет вычислить ее изменение при переходе системы из одного состояния в другое. Для такого вычисления, как ясно из формулы (164), следует определить сумму всех приведенных теплот, которые надо сообщить системе или отнять от нее для того, чтобы каким-либо обратимым путем, причем безразлично каким именно, перевести систему из первого состояния во второе, иначе говоря, надо вычислить, стоящий в правой части формулы (164) интеграл по любому обратимому пути перехода системы из состояния 1 в состояние 2.

Вычисление энтропии той или иной системы основывается на применении как второго, так и первого начала термодинамики. Объединяя дифференциальное выражение второго начала термодинамики для обратимых процессов (163) с дифференциальным выражением первого начала термодинамики

(165)

Q = dU + A

получим уравнение, связывающее дифференциал энтропии системы dS с дифференциалом ее внутренней энергии dU

или с учетом того, что А = PdV,

(166)

Это уравнение называется основным уравнением термодинамики для обратимых процессов. Оно является исходным при изучении обратимых процессов. Из этого простого уравнения термодинамика получает множество различных следствий относительно связей, существующих между различными физическими величинами. Пользуясь основным уравнением термодинамики (166), можно вычислить энтропию (точнее, изменение энтропии) любой системы, для которой известно уравнение состояния Р = Р (Т,V) и зависимость ее внутренней энергии от термодинамических параметров состояния U = U (Т,V).

Для идеального газа обе указанные зависимости нам известны

(167)

и

(168)

U =  C_v Т

Из (168) имеем

(169)

dU =  C_v dТ

Подставляя (167) и (169) в (166), для дифференциала энтропии идеального газа получаем

(170)

откуда

(171)

и

(172)

Как видно, сама энтропия идеального газа вычисляется на основе основного уравнения термодинамики лишь с точностью до некоторой постоянной S₀. Изменение же энтропии никакой неопределенной константы не содержит.

Из выражения (171) видно, что энтропия идеального газа возрастает как с повышением его температуры, так и с увеличением объема. Энтропию идеального газа, как функцию состояния, можно выразить не только через параметры Т и V, но и через любые другие два параметра, например, Р и Т или Т и V. Так, выражая из уравнения Клапейрона ― Менделеева температуру Т = PV/R и подставляя это выражение в (171), получаем

или

(173)

Легко убедиться, что из полученных выше выражений для энтропии идеального газа и условия постоянства энтропии при обратимых адиабатических процессах (S = const при Q = 0) непосредственно вытекают известные нам уравнения адиабаты идеального газа в разных переменных. Действительно, приравнивая правую часть выражения (173) константе, получаем C_v lnP + C_p lnV = const или , отсюда следует известное уравнение Пуассона

Из выражение (171) при S = const получается уравнение адиабаты идеального газа в переменных Т–V: