10 Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге. Зависимость

между тремя упругими постоянными для изотропного тела. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ СДВИГЕ.

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ТРЕМЯ УПРУГИМИ ПОСТОЯННЫМИ

E, G и ν

Вычислим потенциальную энергию при сдвиге. Для простоты предположим, что грань КD элемента неподвижна (рис. 6.3). Тогда при смещении верхней грани сила τδdх (где δ — толщина элемента) совершит работу на перемещении γdy. Следователь­но, потенциальная энергия деформации, накопленная в эле­менте, dU=τγδdxdу/2.

Удельная потенциальная энергия

U=dU/dV=τγ/2.

Выразив γ через τ по закону Гука (6.1), получим

и=τ²/(2G). (6.2)

Множитель 1/2 принят потому, что сила прямо пропорциональна cмещению.

С другой стороны, потенциальная энергия может быть выра­жена через главные нормальные напряжения. Из формулы удельной потенциальной энергии

для плоского напряженного состояния, каким является чистый сдвиг, полагая σ₂=0, получаем

(6.3)

Но главные напряжения при сдвиге равны σ₁=τ, σ₃= –τ, следовательно,

u=τ ²(1+ν)/E. (6.4)

Так как энергия не должна зависеть от ориентировки граней элемента, то, приравнивая правые части выражений (6.2) и (6.4), получаем

τ²/(2G)= τ ²(1+ν)/E.

Отсюда найдем зависимость между модулем сдвига G и мо­дулем упругости первого рода Е:

G=E/[2(1+ν)]. (6.5)

Для стали модуль сдвига G=2·10⁵/|2(1+0,3)] ≈ 8·10⁴ МПа.

11.Напряжения в стержнях круглого сечения. Полярный момент

сопротивления. Условие прочности при кручении.

Крутящие моменты, о которых шла речь выше, представляют лишь равнодействующие внутренних сил. Фактически в попе­речном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения, к опреде­лению которых теперь и перейдем.

Ознакомимся прежде всего с результатами опытов. Если на поверхности стержня круглого селения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 7.1):

1) прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений — и в продольных его сечениях;

2) расстояния между окружностями, например между / и //, не изменяется. Не изменятся длина стержня и его диаметр. Естес­твенно допустить, что каждое поперечное сечение поворачивает­ся в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). На основании этой гипотезы можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться (на разные углы), оставаясь прямолиней­ными.

Рисунок 7.1

На основании этого можно принять, что при кручении в попе­речных сечениях стержня действуют только касательные напря­жения, т. е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг.

Формулы, полученные на основе этого допущения, подтвер­ждаются опытами. Точка D переместится по дуге DD', точка С—по меньшей дуге СС' (рис. 7.2).

Рисунок 7.2

Для установления закона распределения касательных на­пряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня рас­смотрим более детально деформации стержня (рис. 7.1 и 7.3). На рис. 7.3 в более крупном масштабе изображена часть стерж­ня между сечениями I и II и показана одна сторона КN элемента KLMN (см. рис. 7.1).

Рисунок 7.3

Угол сдвига для элемента КLMN, лежащего на поверхности стержня, равен отношению отрезка N'N" к длине элемента dz (рис. 7.3);

γ_max=rdυ/dz . (7.1)

Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса ρ и повторяя те же рассуждения, полу­чим угол сдвига для элемента, отстоящего на расстоянии ρ от оси стержня:

γ=ρdυ/dz. (7.2)

На основании закона Гука при сдвиге имеем

τ=Gγ=Gρdυ/dz . (7.3)

Как видим,

при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 7.2 справа.

В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точ­ках сечения, расположенных у поверхности стержня.

Зная закон распределения касательных напряжений, легко определить их из условия, что крутящий момент в сечении пред­ставляет собой равнодействующий момент касательных напря­жений в сечении:

, (7.4)

где τρdA — элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадке dА.

Подставив в (7.4) значение напряжений из формулы (7.3), получим

. (7.5)

Имея в виду, что

, (7.6)

где I_p— полярный момент инерции сечения, получим

dυ/dz=T/(GI_p). (7.7)

Подставляя значение dυ/dz в формулу (7.3), имеем

τ=Tρ/I_p. (7.8)

В частном случае, когда на стержень действует один внеш­ний скручивающий момент Т_е, (рис. 7.8), из условия равновесия отсеченной части стержня получим Т=Т_е.

Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид

τ=Tρ/I_p

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения τ одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения

τ_max =Tr/I_p=T/W_p , (7.9)

где

W_p=I_p/r.

Геометрическая характеристика W_p называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кру­чении.

Рисунок 7.4

Для круглого сплошного сечения

W_p=I_p/r=(πd⁴)/(32d/2)=πd³/16≈0,2d³. (7.10)

Для кольцевого сечения

W_p=2I_p/D=[π(D⁴–d⁴)]/(16D)=(πD³/16)(1–c⁴) ≈0,2D³(1–c⁴),

где с=d/D.

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

τ_max=T/W_p≤ [τ] . (7.11)

Здесь [τ] — допускаемое касательное напряжение.

При действии статической нагрузки принимают (без учета концентрации напряжений и других факторов, снижающих про­чность) [τ] =(0,5÷0,6)[σ]

Кроме проверки прочности по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах.

Допускаемый из условия прочности крутящий момент опре­деляют по формуле

[T]=W_p[τ]. (7.12)

При кручении во всех точках стержня, кроме точек его оси (в которых вообще не возникает напряжений), имеет место двухосное напряженное состояние — чистый сдвиг. При кручении материал у поверхности стержня напряжен силь­нее, чем материал, расположенный ближе к оси стержня. Таким образом, напряженное состояние является неоднородным. Если же скручивать тонкостенную трубу, то можно считать, что практически во всех точках ее стенки возникают одинаковые напряжения, т. е. в этом случае напряженное состояние будет однородным. Опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге τ_y.