53.Количество движения системы. Теорема об изменении количества движения системы. Закон сохранения количества движения.

- Количество движения системы

Кол-м движения системы будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному сектору) количество движения всех точек системы (рис. 38): (107)

Найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять величину , а также уяснить ее смысл. Из .

Беря от обеих частей производную по времени, получим или .

Находим, что (108) Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы (108) видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то кол-во движения тела равно пулю. Если же движение тела является сложным, то величина не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс.

-Теорема об изменении количества движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифф-е ур-я движения (102) и сложим их почленно. Получим .

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того находим (109)

Ур-е (109) выражает теорему об изменении кол-ва движения системы в дифф-й форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будет:

, , (110)

Найдем другое выражение теоремы. (111)

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Ур-е (111) выражает теорему об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: изменение кол-ва движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы

-Закон сохранения количества движения

Из теоремы об изменении кол-ва движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю: .

Тогда из ур-я (109) , что при этом . Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоя­нен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, Ох) = нулю: .

Тогда из ур-й (109) , что при этом Q_x=соnst. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить ко­личество движения системы не могут.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.