54.Главный момент количеств движения системы. Теорема моментов. Закон сохранения главного момента количеств движения.

-Главный момент количества движения системы

Главным моментам кол-в движение (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов кол-в движения всех точек системы относительно этого центра: (112)

Аналогично определяются моменты кол-в движения системы относительно координатных осей:

, , (113)

При этом K_x, K_y, K_z представляют собой одновременно проекции вектора на координатные оси.

Главный момент кол-в движения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

-Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов)

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки, будет справедлива для каждой из точек системы. , если рассмотреть точку системы с массой m_k, имеющую скорость то для нее будет ,

где и — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие ур-я для всех точек системы и складывая их почленно, получим

,

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы, равна нулю. Тогда, учитывая равенство (112), найдем окончательно (114)

Полученное ур-е выражает следующую теорему моментов для систе-мы: производная по времени от главного момента кол-в системы движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части равенства (114) на неподвижные оси 0хyz, получим: , , . (115)

Уравнения (115) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

Доказанной теоремой широко пользуются при изучении вращательного движения тела, а также в теории гироскопа и в теории удара. Но значение теоремы этим не ограничивается, В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная — с помощью теоремы моментов. Это показывает важность теоремы для изучения движения свободного тела (летящий самолет, снаряд, ракета) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения.

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позволяет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

-Теорема моментов относительно центра масс. Чтобы применять теорему моментов к изучению плоскопараллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти выражение этой теоремы для движения системы относительно центра масс. Пусть Охуz— неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система, а Сх'у'z' — оси перемещающиеся поступательно вместе с центром масс С этой системы (рис. 39), при этом оси Сх'у^’z' имеют ускорение , равное ускорению центра масс.

Поскольку все ур-я динамики можно составлять в осях Сх'у'z' так же, как в неподвижных, если к действующим на каждую из точек системы силам и прибавить переносную силу инерции (кориолисовы силы инерции в данном случае равны пулю, так как оси Сх'у'z' движутся поступательно). Следовательно, уравнение (114) в осях Сх'у'z' примет вид

, (116)

поскольку сумма моментов внутренних сил относительно любого центра равна нулю. При этом величина вычисляется по ф-ле , (117) где — скорости точек системы по отношению к осям Сх'у'z'.

Найдем значение последней суммы в равенстве (116). По определению, . Так как оси Сх'у'z,' движутся поступательно, то для любой из точек В_k системы ; , и . Тогда, вы­нося общий множитель за скобки и учитывая, что по формуле (101) получим

,так как точка С является в системе осей Сх'у'z' началом координат и . В результате равенство (116) дает (118)

Сравнивая этот результат с ур-м (114), приходим к выводу, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно, неподвижного центра. Точно так же для моментов относительно осей Сх'у'z' из (118) получаются уравнения, аналогичные уравнениям (116).

Заметим, что в любой другой подвижной системе отсчета будет или , или не будут равны нулю кориолисовы силы инерции и уравнение моментов не будет иметь вид, совпадающий с (114).

-Закон сохранения главного момента количества движения

Из теоремы моментов можно получить такие следствия.

1. Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю

Тогда из ур-я(114) , что при этом . Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный момент кол-в движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю .

Тогда из уравнений (115) , что при этом K_z=const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента кол-в движения системы. Из них , что внутренние силы изменить главный момент кол-в движения системы не могут.

Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси z. Тогда по формуле . Если в этом случае , то .

Отсюда приходим к следующим выводам:

а) если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то J_z=const и, , , т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью;

б) если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вызывает увеличение J_z, или приближаться к оси, что приведет к уменьшению J_z. Но поскольку , то при увеличении момента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при уменьшении момента инерции – увеличиваться. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как постоянство K_z не означает вообще постоянства ω.