51.Теорема об изменении момента количества движения точки. Работа силы. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

- Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов)

Момент кол-ва движения точки относительно некоторого центра О - векторная величина , определяемая равенством (90) где — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен плоскости, проходящей через и центр О, a .

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Оz, проходящей через центр О, будет = проекции вектора на эту ось:

, (91) где g — угол между вектором и осью Оz.

или (92)

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого - нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Е сли спроектировать обе части равенства (92) на какую-нибудь ось Оz, проходящую через центр О, то, учтя соотношение (91), получим (93)

Это равенство выражает теорему моментов относительно оси. Из уравнения (92) следует, что если , то , т. е. если момент действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная.

1. Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы , приложенной в точке М (рис. 36), наз-ся скалярная величина dA = F_t ds, (94)

где F_t — проекция силы на касательную Мt к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки, ds — модуль элементарного перемещения точки М.

Если учесть, ds = |d |, где d — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (94) можно представить в виде dA = . (95)

, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на любом конечном перемещении M₀ M₁ (рис. 36) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ , (96)

(97)

, работа силы на любом перемещении M₀ M₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Ед. измерения работы является в СИ — 1 джоуль.

Мощность. Мощностью наз-ся величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N = A/t₁, где t₁ — время, течение которого произведена работа А. В общем случае (98) , мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Ед. измерения мощности в СИ является ватт (1 Вт = 1Дж/с).

-Теорема об изменении кинетической энергии точки

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Ед. измерения в СИ — 1 Дж. Найдем зависимость, которой связаны работа и кин. энергия..

Рассмотрим материальную точку с массой m, перемещающуюся из положения М₀, где она имеет скорость v₀, в положение М₁, скорость v₁.

(99)

Ур-е (99) - теорема об изменении кинетической энергии точки: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.