42.Поступательное и вращательное движения твердого тела. Равномерное иравнопеременное вращения.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

2. Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются все время движения неподвижными. Проходящая неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла j от времени t, т. е. j = f (t) (39)

Уравнение (39) выражает закон вращательного движения твер­дого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость w и угловое ускорение e.

w = dj/dt или (40)

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен |w| и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 26).

e = dw/dt = d² j/dt² или (41)

Равномерное и равнопеременное вращения

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (w=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (40) интегрируя имеем

(42)

При равномерном вращении , (43)

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (e=const), то вращение называется равнопеременным. Из формулы (41), дважды интегрируя найдем закон равнопеременного вращения . (44)

Если величины w и e имеют одинаковые знаки, вращение будет равноускоренным, а если разные – равнозамедленным.

43.Скорости и ускорения точек вращающегося тела Векторы скорости и ускорения точек тела.

1

. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. За время D t происходит поворот тела на угол dj, точка М совершает элементарное перемещение ds = h dj. Тогда скорость точки

(45)

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами .В нашем случае . Подставляя полу Касательная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 28).

Полное ускорение точки М будет

. (47)

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и , проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М. Тогда h=г sin a и по формуле (45)

.

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и тоже совпадают. Следоват

(48)

(48) называют формулой Эйлера.

Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим

. (49)