41.Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения. Оси естественного трехгранника. Числовое значение скорости. Касательное и нормальное ускорения точки.

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Если движение точки задано координатным способом: x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t), то скорость точки определяется по ее проекциям на оси координат. Действительно, обозначим орты осей координат i, j, k, а из начала координат в точку М проведем радиус-вектор r (см. рис.2.4). По формуле разложения вектора на оси имеем r = i·r_x + j·r_y + k·r_z. Но r_x = x, r_y = y, r_z = z, поэтому

r = i·x + j·y + k·z, (35)

где >x, y, z - координаты движущейся точки.

Разложив вектор скорости v по ортам координатных осей, получим

v = i·v_x + j·v_y + k·v_z>, (36) где v_x, v_y, v_z - проекции скорости на оси координат.

. (37)

С равнивая формулы (37) и (36) и зная, что, если два вектора равны, то равны и их коэффициенты при i, j, k в отдельности, имеем

. (37.1)

Величина вектора скорости

(37.2)

направление вектора скорости может быть определено по направляющим косинусам углов, составляемых им с осями координат:

(37.3)

Пусть кривая CD является годографом скорости точки (рис.23.1). Тогда радиусом - вектором любой точки N годографа скорости CD будет вектор скорости v, а координаты x₁, y₁, z₁ точки N будут равны проекциям скорости на оси координат, т.е.

(37.4)

Уравнения (37.4) являются параметрическими уравнениями годографа скорости. Для получения уравнения годографа в координатной форме необходимо из уравнений (37.4) исключить параметр t.

Так как вектор ускорения точки равен второй производной от радиуса-вектора точки r по времени, или первой производной по времени от вектора скорости v, то учитывая формулы (35), а также то, что орты i, j, k постоянны, получим a = ia_x + ja_y + ka_z, или

. (37.5)

И спользуя формулу разложения вектора a на оси, можно написать

(37.6)

Сравнивая выражения (37.5 и (37.6) и приравнивая коэффициенты при ортах i, j, k, имеем

где a_x, a_y, a_z - проекции ускорения точки на соответствующие оси.

Вектор a вполне определяется заданием его проекций: величина вектора ускорения равна

,

а направление вектора a задается косинусами углов, составляемых им с осями координат:

, , .

1. Оси естественного трехгранника. Числовое значение скорости

Рассмотрим скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения, т. е. когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде s=f(t).

В этом случае значения векторов и определяют по их проекциям на подвижные оси (оси естественного трехгранника) Мtnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис. 25). Эти оси направлены следующим образом: ось Мt — по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Мn — по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль Мn, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль Mb – бинормалью.

Скорость точки, направленная по касательной к траектории (рис. 25), определяется в осях Mtnb только одной проекцией v_t.

2. Касательное и нормальное ускорения точки

Пусть движение точки задано естественным способом, т.е. известна траектория точки и уравнение движения вдоль траектории S = S(t). Из векторного способа задания движения точки известно, что . Подставляя для скорости v ее выражение и учитывая при этом, что орт τ переменный вектор, так как изменяется его направление, получим

, или

Найдем величину и направление вектора . Так как , а при t 0 точка М₁ М, то векторы и ₁ будут лежать в соприкасающейся плоскости, значит лежат в соприкасающейся плоскости.

В связи с тем, что так как , получаем, что перпендикулярен n. Следовательно, совпадает с направлением главной нормали, а поэтому

.

Найдем . Из равнобедренного треугольника МСD, учитывая что МС = МD = 1, находим, . Отсюда

или

.

Получаем , или .

Равенство представляет собой формулу разложения ускорения a по естественным осям.

Скалярные множители и в выражениях представляют собой проекции ускорения точки на касательную и главную нормаль. Так как вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль равна нулю, т.е.

.

Проекция ускорения точки на главную нормаль всегда положительна. Поэтому нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны.

У словимся, алгебраическую величину касательного ускорения точки обозначать , а его модуль a_τ. Исходя из этого . Если алгебраическая величина имеет знак плюс, то направление касательного ускорения точки a_τ совпадает с направлением орта τ, а если минус - то противоположно τ.

Модуль касательного ускорения . Если проекции скорости v и касательного ускорения a_τ на касательную имеют одинаковые знаки, то и направления этих векторов совпадают, т.е. точка движется ускоренно. Если же и имеют различные знаки, то и направления v и a_τ противоположны, точка движется замедленно. При движении точки только в одну сторону возрастания дуговой координаты имеем: . При этом, если > 0, то точка движется ускоренно, в противном случае - замедленно.

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости Mtn. Следовательно, проекция на бинормаль Mb равна нулю. Найдем проекции на две другие оси и получим:

. (38)