25.Условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям.

Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наи­большие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т. е. в сечении, где М имеет наи­большее значение, не превосходили соответствующих допускае­мых напряжений (рассматриваются только балки с постоянным по всей длине поперечным сечением).

Обозначим h_t – расстояние до наиболее уда­ленного от нейтральной оси растянутого волокна, h_c — расстоя­ние до наиболее сжатого волокна. Тогда наибольшее растягива­ющее напряжение при изгибе

max σ_t =Mh_t/I_x ; наибольшее сжимающее напряжение (взятое по абсолютному значению) max σ_с =Mh_с/I_x.

Для хрупких материалов (например, чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны: [σ_с] в 3—5 раз больше [σ_t], поэтому для балок из таких материалов обычно применяют сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение располагают таким образом, чтобы h_t<h_с , т. е. чтобы обеспечивалось неравенство mах σ_t<mах σ_с В указанных случаях надо составлять два условия прочности:

по наибольшим растягивающим напряжениям

max σ_t =Mh_t/I_x=M/W_xt ≤[σ_t] ;

п о наибольшим сжимающим напряжениям

max σ_с =Mh_с/I_x =M/W_xc ≤[σ_с]

где W_xt и W_xc — моменты сопротивления растянутого и сжатого волокон.

В формулы надо подставлять наибольшее (по абсолютному значению) значение М.

Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из пластичных материалов), т. е. ht=hc=h/2, то вместо двух формул получим одну σ=(M/Ix)(h/2).

Обозначив W_x=2I_x/h, получим при одинаковых допускае­мых напряжениях на растяжение и сжатие [σ], следующее условие прочности: σ=M/W_x≤[σ]

Величина W_x называется осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки определяющей ее прочность при изгибе.

Нормальные напряжения при изгибе изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения. Кривизна оси балки при изгибе пропорциональна изги­бающему моменту и обратно пропорциональна величине ЕI_x, на­зываемой жесткостью балки.

27. Устойчивость сжатых стержней. Задача эйлера.

П оложим, что по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся. Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью.

Координаты точек упругой линии стержня обозначим через z и у. При малых прогибах ЕJу"=М. Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под величиной J понимается минимальный момент инерции сечения.

Изгибающий момент М по абсолютной величине равен, очевидно, Py.

Условимся считать положительным тот момент, который увеличивает кривизну. Рассматривая упругую линию, изо­браженную на рис., замечаем, что сжимающая сила Р в алгебраическом смысле кривизну уменьшает. Действительно, при положительном у упругая линия имеет выпуклость вверх. Кривизна упругой линии, следовательно, от­рицательна. Момент силы Р направлен так, что еще силь­нее искривляет упругую линию, делает кривизну «еще более отрицательной», т, е. уменьшает ее. Таким образом, ЕJу"= – Ру.

Для того чтобы в подобных случаях не ошибаться в зна­ках, можно руководствоваться следующим простым прави­лом: необходимо, не предугадывая формы упругой линии, изобразить ее на чертеже формально так, чтобы функция у и ее первая и вторая производные были положительны (см. штриховую линию на рис. 13.4). Тогда, рассматриваемый рису­нок, можно безошибочно выписать моменты сил со знаком плюс или минус, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается кривизна упругой линии под действием внеш­них сил. Обозначим P/EJ=k². Тогда у" + k²y = 0, откуда y=C₁sinkz+C₂coskz.

С учетом граничных условий получаем

P=π²n²EJ/l².

Это означает, что для того чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р принимала определенное значение. Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при п=1

P_кр= π²EJ/l². Эта сила носит название эйлеровой силы. Она же — крити­ческая.