55.Кинетическая энергия системы. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

-Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы: (119)

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Главное отличие величины Т от введенных ранее характеристик и состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. По этой причине они, как мы видели, не изменяют векторных характеристик и . Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т. Следовательно, кинетическая энергия системы отличается от величин и еще и тем, что на ее изменение влияет действие и внешних, и внутренних сил.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. , для любой точки и формула (119) дает

или (120)

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат, скорости центра масс.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz, то скорость любой его точки , где h_k — расстояние точки от оси вращения, а ω — угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (119) и вынося общие множители за скобки, получим

Величина, стоящая в скобках, представляет, собой момент инер­ции тела относительно оси z. Таким образом, найдем (121)

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 40). Следовательно, по формуле (121): , (122)

где J_p — момент инерции тела относительно названной выше оси; ω — угловая скорость тела.

Величина J_p в формуле (122) будет переменной, так как положение центра Р при движении тел все время меняется. Введем вместо J_p, постоянный момент J_с относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса J_p = J_с +Мd², где d=РС. Подставим это выражение для J_p в (122). Учитывая, что точка Р – мгновенный центр скоростей и, следовательно, ω d= ω РС=v_c, где v_c – скорость центра масc С, окончательно найдем

(123)

, при плоскопараллельном, движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра маcc.

4. Общий случай движения. Если выбрать центр масс С тела в качестве полюса (рис. 41), то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного со скоростью полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс. При этом скорость любой точки тела В_k слагается из скорости полюса и скорости, которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокруг оси СР) и которую мы обозначим , т. е. = + . При этом по модулю , где h_k — расстояние точки В_k от оси СР, а ω — угловая скорость тела, которая не зависит от выбора по­люса. Тогда .

Подставляя это значение в равенство (119) и учитывая, что , найдем

, где общие множители сразу вынесены за скобки.

В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, а вторая равна моменту инерции J_CP тела относительно мгновенной оси СР. Величина же , так как она представляет собой количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела.

В результате окончательно получим (124)

Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае движения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

-Теорема об изменении кинетической энергии системы

Если рассмотреть какую-нибудь точку си­стемы с массой т_k, имеющую скорость v_k, то для этой точки будет

, где и — элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие ур-я для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

или (125)

Равенство (125) выражает теорему об изменении кинетической энергии сиcтемы в дифф-й форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна Т₀, в положение, где значение кинетическое энергии становится равным Т₁, получим (126)

Это ур-е выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях (125) или (126) не исключаются. В самом деле, если и — силы взаимодействия между точками В₁ и B₂ системы (рис. 309), то при этом точка В₁ может перемещаться по направлению к B₂, а точка B₂ — по направлению к В₁. Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет.