49.Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Решение первой задачи динамики. Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки.

- Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Для решения задач динамики точки будем пользоваться уравнениями в декартовых координатах: (76)

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил по отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz. Проектируя обе части равенства (68) на оси х, у, z, получим:

(77)

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками, (78)

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

- Решение первой задачи динамики (определение сил по заданному движению)

Если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила или реакция связи сразу находится по уравнениям (67) или (68). При этом для вычисления реакции надо дополнительно знать активные силы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно воспользоваться уравнениями (77).

-Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (77), т. е.

или (79)

Ур-е (79) называют дифф-м ур-м прямоли­нейного движения точки. Иногда его удобнее заменить 2-мя ур-ми, содержащими первые производные: , (80)

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t, ур-е (80) преобразуют к переменному х. Так как , то вместо (80) получим: (81)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных ур-й, зная силы, найти закон движения точки, т.е. х=f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифф-е ур-е. Общее решение ур-я (79) будет иметь вид (82)

Необходимо определить значения постоянных С₁ и С₂. Для этого используются обычно так называемые начальные условия.

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных С₁ и С₂ и найти частное решение уравнения (79), дающее закон движения точки, в виде (83)

50.Количество движения точки. Импульс силы. Теорема об изменении количества движения точки.

- Количество движения точки. Импульс силы

Кол-вом движения материальной точки наз-ся векторная величина , равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.

Единицей измерения кол-ва движения является в СИ — 1 кг·м/с=1 Н·с.

Импульс силы. Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt: (84)

Направлен импульс вдоль линии действия силы. Импульс любой силы за конечный промежуток времени t₁ вычисляется через интеграл:

(85)

В частном случае, если сила постоянна и по модулю, и по направлению ( =const), то . В общем случае модуль импульса может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

(86)

Единицей измерения импульса силы, как и кол-ва движения, является в СИ — 1 кг м/с.

-Теорема об изменении количества движения точки

Т.к. масса точки постоянна, а ее ускорение , то ур-е (68), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде (87)

Ур-е (87) выражает одновременно теорему об изменении кол-ва движения точки в дифф-й форме: производная по времени от кол-ва движения точки равна сумме действующих на точку сил.

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени t=0 скорость , а в момент t₁ — скорость .: .

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (85), представляют собой импульсы действующих сил.

(88)

Ур-е (88) выражает теорему об изменении кол-ва движения точки в конечном виде: изменение кол-ва движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного ур-я (88) часто поль­зуются ур-ми в проекциях.

(89)