3.2. Определение средней ошибки, предельной ошибки и доверительных границ коэффициента корреляции

В корреляционно-регрессионном анализе обычно оценивается достоверность не только уравнения в целом, но и отдельных параметров связи. Статистическая оценка выборочного коэффициента корреляции, как и других параметров, проводится только в том случае, если выборочная совокупность формировалась в случайном порядке. Алгоритм оценки достоверности выборочных коэффициентов корреляции предусматривает расчет критериев достоверности t-Стьюдента (для малых выборок) и t-нормального распределения (для больших выборок) как отношения выборочного коэффициента корреляции к его средней ошибке

t_r = 3.5.

Средняя или стандартная ошибка коэффициента корреляции m_r покажет, на какую величину в среднем по всем возможным выборкам равного объема выборочные коэффициенты корреляции (оценки) r будут отличаться от истинного (генерального) коэффициента корреляции . Величина стандартной ошибки коэффициента корреляции в случае парной линейной связи определяется по формуле

3.6.

Тогда фактическое значение t-критерия определяется как 3.7.

Сравнив полученное фактическое значение критерия с его критическим (табличным) значением, можно сделать вывод о достоверности выборочного коэффициента корреляции.

Например, по результатам случайной выборки семей (п = 20) был определен выборочный коэффициент корреляции между доходом семьи и потреблением товара А: r_yx = 0,88.

а) Выдвинем нулевую гипотезу, что данная величина выборочного коэффициента корреляции явилась следствием случайных колебаний выборочных данных, на основании которых он исчислен, а генеральный коэффициент корреляции равен нулю – Н₀: =0.

б) Определим среднюю ошибку выборочного коэффициента корреляции :

=

в) Рассчитаем фактическое значение критерия t –Стьюдента:

t_r = = .

г) По таблице значений критерия t –Стьюдента определим его критическое значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы df_ост = п-2=18: t_st = 2,1009.

д ) Сопоставим критическое и фактическое значения критерия Стьюдента: t_факт.> t_st (7,86>2,1009).

Сделаем вывод. С вероятностью 0,95 мы отвергаем нулевую гипотезу о равенстве коэффициента корреляции в генеральной совокупности нулю.

Выборочный показатель связи обеспечивает точечную оценку рассматриваемого параметра, но при этом вероятность того, что истинное значение будет в точности равно этой оценке, ничтожно мала. Доверительный интервал дает так называемую интервальную оценку параметра, то есть диапазон значений, который будет включать истинное значение с высокой, заранее определенной вероятностью. Для расчета доверительного интервала необходимо найти предельную ошибку коэффициента корреляции по формуле = t_st ∙m_r = 2,1009∙0,112=0,235. Предельная ошибка покажет, на какую максимальную величину для данного уровня вероятности выборочный коэффициент корреляции может отличаться от генерального.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции определяется как

3.8.

для нашего примера: 0,88 -0,235 0,88 + 0,235. Учитывая, что коэффициент корреляции принимает значения от 0 до 1, сделаем вывод:

с уровнем вероятности 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции между доходом семьи и потреблением товара А в генеральной совокупности находится в интервале от 0,645 до 1.