2.4. Интерпретация уравнения регрессии.
Интерпретации уравнения регрессии состоит в словесном истолковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области статистики. Проиллюстрируем это моделью регрессии для функции спроса, т. е. регрессией между расходами потребителя на питание (у) и располагаемым личным доходом (x) по данным для США за период с 1959 по 1983 г. Данные представлены в виде графика (рис.2.6).
Предположим, что истинная модель описывается следующим выражением:
у = + х + и (2.15)
и оценена регрессия
= 55,3 + 0,093х . (2.16)
Полученный результат можно истолковать следующим образом. Коэффициент при х (коэффициент наклона) показывает, что если х увеличивается на одну единицу, то у возрастает на 0,093 единицы. Как х, так и у измеряются в миллиардах долларов в постоянных ценах; таким образом, коэффициент наклона показывает, что если доход увеличивается на 1 млрд. долл., то расходы на питание возрастают на 93 млн. долл. Другими словами, из каждого дополнительного доллара дохода 9,3 цента будут израсходованы на питание.
Что можно сказать о постоянной в уравнении, равной 55,3? Формально говоря, она показывает прогнозируемый уровень у, когда х = 0. Иногда это имеет ясный смысл, иногда нет. Если х = 0 находится достаточно далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам; даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантии, что так же будет при экстраполяции влево или вправо (рис.2.6).
В рассматриваемом случае экстраполяция к вертикальной оси приводит к выводу о том, что если доход был бы равен нулю, то расходы на питание составили бы 55,3 млрд. долл. Такое толкование может быть правдоподобным в отношении отдельного человека, так как он может израсходовать на питание накопленные или одолженные средства. Однако оно не имеет никакого смысла применительно к совокупности. В данном случае константа выполняет единственную функцию: она позволяет определить положение линии регрессии на графике. Можно привести пример постоянной, которая имеет ясный смысл. По этим же данным (приложение 1) можно определить регрессионную зависимость расходов на питание у от времени, определенного как t = 1 для 1959 г., t =2 для 1960 г. и т.д. Она задана уравнением:
= 95,3 + 2,53 t. (2.17)
В этом уравнении постоянную 95,3 можно объяснить как расходы на питание при t = 0 для 1958 г.
При интерпретации уравнения регрессии чрезвычайно важно помнить о трех вещах. Во-первых, а является лишь оценкой , а b — оценкой . Поэтому вся интерпретация в действительности представляет собой лишь оценку. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения.
В сущности, мы построили довольно наивную зависимость для функции спроса. Мы будем неоднократно возвращаться к этому в следующих разделах, уточняя как определение, так и статистические методы, используемые для оценки коэффициентов уравнения.
Подводя итог сказанному, можно представить интерпретацию линейного уравнения регрессии в виде реализации следующих шагов.
Во-первых, можно сказать, что увеличение х на одну единицу (в единицах измерения переменной х) приведет к увеличению значения у на b единиц (в единицах измерения переменной y). Вторым шагом является проверка, каковы действительно единицы измерения х и у, и замена слова «единица» фактическим количеством. Третьим шагом является проверка возможности более простого выражения результата, который может оказаться не вполне удобным. В примере, приведенном в данном разделе, в качестве единицы измерения для х и у использовались миллиарды долларов, что позволило произвести очевидные упрощения.
Постоянная а дает прогнозируемое значение y (в единицах y), если х= 0. Это может иметь или не иметь ясного смысла в зависимости от конкретной ситуации.