1. Метод найменших квадратів

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд

де Y — вектор значень залежної змінної;

X — матриця незалежних змінних розміром (n — число спостережень, m — кількість незалежних змінних);

A — вектор оцінок параметрів моделі;^*

u — вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК для оцінки параметрів моделі, необхідне виконання таких умов:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

2) значення u_i вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не пов’язані із залишками:

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :

,

де X_k — k-й вектор матриці пояснювальних змінних; X_j — j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних X, .

Якщо виконуються всі необхідні умови для застосування 1МНК, то оцінки параметрів економетричної моделі мають такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності

Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знаходженні таких і , для яких найменша. Необхідна умова для цього — перетворення на нуль похідних цієї функції за кожним із параметрів і :

,

Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь

Підставивши відомі значення знайдемо а1 а0:

Отримаємо рівняння:

2. Визначення дисперсій оцінок параметрів та їх стандартних помилок.

Щоб мати загальне судження про якість моделі, визначають стандартну похибку апроксимації:

Незміщена оцінка дисперсії залишків з поправкою на кількість ступенів свободи:

Стандартна похибка коефіцієнта регресії а₁ визначається за формулою:

.

Стандартна похибка параметру a₀ визначається за формулою:

.

Величина стандартної похибки разом з t-розподілом Ст’юдента при n-2 ступенях свободи застосовуються для перевірки значущості коефіцієнтів регресії і для розрахунку їх довірчих інтервалів.

Стандартна похибка рівняння (точкова оцінка емпіричної дисперсії залишків) характеризує абсолютну величину розкиду випадкової складової рівняння і обчислюється за формулою

.

Поправка на число ступенів свободи дає незміщену оцінку дисперсії залишків:

.

Зрозуміло, що перевага віддається моделям, у яких стандартна похибка рівняння менша порівняно з іншими моделями. Однак така оцінка якості має суттєвий недолік: через те, що для неї не визначено верхню межу, порівняння різних моделей за цим критерієм досить проблематичне.

3. Основні поняття і попередній аналіз рядів динаміки: поняття часового ряду.

Соціально-економічні процеси найчастіше спостерігається у вигляді ряду послідовних, розташованих у хронологічному порядку значення того чи іншого показника.

Спостереження над деяким явищем, характер якого змінюється в часі, породжує впорядковану послідовність, що наз часовим рядом. В кожний момент часу (або часовий інтервал)значення досліджуваної величини, що є часовою характеристикою явища може формуватися під сукупною дією великого числа чинників як випадкового так і невипадкового характеру.

Зміна умов розвитку явища введе до ослаблення дії одних чинників і посилення дії інших, що призводить до варіювання ознаки часу.

Динамічний ряд – це сукупність спостережень 1-го показника впорядковано незалежно від значень іншого показника, що послідовно зростають або спадають.

Ч асовий ряд – це ряд динаміки впорядкованих за часовим рядом, або сукупність спостережень економічної величини в різні моменти часу.

Характерним для часового ряду є те, що порядок послідовності є суттєвим для аналізу, тобто час виступає як один з визначальніших чинників. Це відрізняє часовий ряд від випадкової вибірки, де індекси служать лише для значущості ідентифікації рівня ряду.

С кладовими ч.р.є числові значення, показники яких наз рівнями ряду, та моменти або інтервали часу до яких належать рівні.

Ч.р.можна записати у стислому вигляді , де - рівновіддалені моменти спостережень.

Разом із ч.р.іноді досліджують варіаційний ряд, який одержують із вхідного шляхом впорядкування за величиною рівня ряду. Отже у в.р.на 1-му місці стоїть не перше за часом спостереження У1,а перше за величиною, тобто останнім буде мінімальне значення ряду.

Під довжиною ч.р.розуміють час, що минув від 1-го до останього моменту спостереження. Часто дожину ч.р.наз.також к-ть рівнів п, що утв.ч.р.

В залежності від характеру досліджуваних явищ розрізняють: моментальні, інтервальні та похідні ч.р.

Отже, ч.р.утв-ні показниками, що характеризують економетричне явище на певні моменти часу наз моментними.

Якщо рівні ч.р.утв.шляхом агрегування за певний проміжок або інтервал часу, то такі ряди наз інтервальними ч.р.

Ч.р.можуть бути утворені як з абсолютного з-ня економічних показників, так із сер.відносних – похідні ч.р.

Білет № 11.