Тема 4. Система произвольно расположенных сил

Теорема о параллельном переносе силы (теорема Пуансо). Действие силы на АТТ не изменится, если перенести ее параллельно самой себе в некоторую точку (центр приведения) присоединив при этом пару сил. Момент присоединенной пары равен моменту приведенной силы, относительно центра приведения. В точке А (рис. 3.1.31) приложена сила , которую необходимо перенести в точку В. Как это сделать? В точке В прикладываем силы, равные по модулю сил ; ( ) ≡ ( ); ( ) ≡ 0. Получили эквивалентную систему трех сил, которую можно рассматривать как совокупность силы и пары сил с моментом (рис. 3.1.32).

П ару называют присоединенной; ее момент равен моменту переносимой силы относительно центра приведения и, следовательно, зависит от положения этого центра.

П риведение произвольной пространственной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент. Систему сил, приложенных к телу, можно упростить, используя теорему о параллельном переносе силы. В результате приведения произвольной пространственной системы сил к данному центру в общем случае получаем главный вектор, равный геометрической сумме всех сил системы, и главный момент, равный геометрической сумме моментов всех приводимых сил относительно центра приведения (рис. 3.1.33).

Сложим и т.д., получим силовой многоугольник, где

. (3.1.15)

Затем векторно сложим векторы моментов:

(3.1.16)

, (3.1.17)

где (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) проекции на координатные оси каждой из сил.

Главный вектор инвариантен по отношению к центру приведения. Главный момент зависит от выбора центра приведения.

По модулю главный вектор вычисляется следующим образом:

R* = , (3.1.18)

где

R_x = X₁ + X₂ +...+ X_n = ∑ X_i; (3.1.19).

R_y = Y₁ + Y₂ +...+ Y_n = ∑ Y_i;

R_z = Z₁ + Z₂ +...+ Z _n = = ∑ Z –

проекции главного вектора на координатные оси ^* (R_x, R_y, R_z).

Направление находим по направляющим косинусам:

cos( ^*, ) = ; cos( ^*, ) = ; cos( ^*, ) = . (3.1.20)

Главный момент

;

M_0x = ∑M_x ( ); M_0y =∑M_y( ); M_0z = ∑ M_z( ); (3.1.21)

M₀ = . (3.1.22)

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно каждой из трех координатных осей равнялась нулю:

∑ X_i = 0; ∑Y_i = 0; ∑Z_i = 0;

∑ M_x ( ) = 0; ∑M_y ( ) = 0; ∑M_z ( ) = 0. (3.1.23)

Система параллельных сил. Если ось OZ параллельна силам, то три уравнения (3.1.23) обращаются в тождества, так как проекции сил на оси OX и OY и их моменты относительно оси OZ равны нулю. Оставшиеся три уравнения являются уравнениями равновесия параллельных сил в пространстве (рис. 3.1.34):

Z_i = 0; ∑ M_x ( ) = 0; ∑M_y ( ) = 0. (3.1.24)

Для параллельных сил, расположенных в плоскости XOY (рис. 3.1.35), имеем два уравнения равновесия:

∑Y_i = 0; ∑M₀ ( ) = 0. (3.1.25)

Плоская система произвольно расположенных сил. Если силы действуют в плоскости XOY (рис.3.1.36), то суммы проекций их на ось OZ и моментов относительно осей OX и OY равны нулю.

П ри равновесии тела под действием плоской системы сил суммы их проекций на оси координат и сумма моментов относительно произвольного центра, лежащего в плоскости сил, равны нулю:

∑ X_i = 0; ∑Y_i = 0; ∑M₀ ( ) = 0. (3.1.26)

Примеры упрощения системы сил, действующих на ВС. Силы взаимодействия ВС с поверхностью взлетно-посадочной полосы (ВПП) и воздухом при движении по земле и в полете подчиняются сложным закономерностям. Во всех случаях систему сил, действующих на ВС, упрощают. Например, воздушное давление, неравномерно распределенное по нижней и верхней поверхностям крыла (или стабилизатора, киля), часто суммируют и относят к одной поверхности.

Силы, действующие на ВС в горизонтальном полете с постоянной скоростью без бокового ветра, могут быть приведены к плоской системе сил (рис. 3.1.37).

В ес ВС ( ), подъемная сила крыла ( ) и горизонтального оперения ( ), тяга двигателей ( ) и сила лобового сопротивления ( )удовлетворяют трем уравнениям равновесия:

1. Условие сохранения постоянной скорости:

∑ X_i = 0, P – Q = 0; (3.1.27)

2. Условие сохранения постоянной высоты:

Y_i = 0, Y_кр – G – Y_г.о = 0. (3.1.28)

3. Условие сохранения горизонтального положения ВС:

∑M₀ ( ) = 0, P_a – Y_г.о·l_г.о = 0. (3.1.29)

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона). Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно любой точки (оси) равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки (оси) (рис. 3.1.38).

П усть действующая на тело произвольная система сил приводится к равнодействующей . Уравновесим тело, приложив к нему силу  = – . Новая система сил находится в равновесии, и для нее справедливо уравнение равновесия:

∑M_c( ) + M_c( ) = 0,

но

M_c ( ) = – M_c( ),∑M_c ( ) – M_c ( ) = 0,

или

M_c( ) = ∑M_c ( ). (3.1.30)

П онятие о моменте устойчивости и моменте опрокидывания. При опробовании двигателя главные колеса шасси уперты в подкладки D, а хвостовое колесо не отрывается от земли. Будем считать, что на ВС действует только две силы: – тяга винта и – вес ВС, лежащие в вертикальной плоскости (рис. 3.1.39).

Выясним условия, при которых хвост прижат к земле. Для этого найдем равнодействующую сил и . Возможны два случая:

1. Равнодействующая проходит слева от точки D.

2. Равнодействующая проходит справа от точки D.

В первом случае ВС находится в равновесии, опрокидывание невозможно. Равнодействующая стремится повернуть ВС вокруг точки D против часовой стрелки:

M_D( ) > 0: M_D( ) = M_D ( ) + M_D ( ),

то

M_D( ) + M_D( ) > 0,

тогда

M_D( ) > M_D( ) (3.1.31)

или Ga > Pb– момент устойчивости больше момента опрокидывания.

Второй случай, если лежит справа от точки D, то M_D( ) < 0, а т.к.

M_D( ) = Ga – Pb, (3.1.32)

то Ga – Pb < 0 или Ga < Pb, равновесие ВС нарушится, его хвост поднимется, возможно капотирование ВС. Отношение момента устойчивости к опрокидывающему моменту называется коэффициентом устойчивости.