Тема 22. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

До сих пор мы изучали движение материальных точек или механических систем и, в частности, твердых тел под действием обычных сил, таких, например, как сила тяжести, сила тяготения, сила сопротивления среды и т. п., которые, непрерывно действуя на эти точки или на эти системы, имеют конечную величину. Изменение скорости точки или скоростей точек системы происходило при этом непрерывно, т. е. каждому элементарному промежутку времени соответствовало элементарное приращение скорости точки или скоростей точек систем. Например, если на падающую материальную точку действует только ее вес, то за каждый элементарный промежуток времени dt скорость точки возрастает также на элементарную величину gdt, где g – ускорение силы тяжести.

Рассмотрим движение под действием таких сил, которые действуют на материальный объект в течение весьма малого промежутка времени , достигая очень большой величины (порядка 1/). При этом скорости точек материального объекта резко изменяются за этот весьма малый промежуток времени, достигая конечной, а не исчезающе малой величины. Так, например, при падении тела на неподвижную плиту, как показывает опыт, за весьма малый промежуток времени, в течение которого тело соприкасается с плитой, его скорость изменяется на конечную величину.

В таких случаях следует говорить, что произошло явление удара.

С механической точки зрения, явление удара характеризуется тем, что скорости точек механической системы, а, следовательно, и количество движения этой системы за весьма малый промежуток времени, измеряемый в тысячных и меньших долях секунды, в течение которого происходит удар, изменяются на конечную величину.

Кроме приведенного выше примера, явление удара имеет место, если движущееся тело сталкивается с другим движущимся или покоящимся телом, а также, если при движении тела внезапно появляется новая связь или исчезает одна из старых. Иногда, впрочем, процесс внезапного уничтожения существующей связи называют взрывом. Явление удара также имеет место при стрельбе из орудий и при взрыве снарядов. Оно является весьма распространенным в технике, и поэтому изучение и исследование вопросов, относящихся к явлению удара, приобретает особую актуальность.

Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом ускорение (или замедление) получается очень большим, а, следовательно, при ударе возникают и очень большие силы. Хотя эти силы действуют на соударяющиеся тела в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.

Силы, возникающие при ударе и действующие на соударяющиеся материальные объекты в течение весьма малого промежутка времени, но достигающие при этом весьма большой величины так, что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами. Главной особенностью ударных сил является кратковременность их действия. При этом промежуток времени, в течение которого они действуют, настолько мал, что это действие оканчивается прежде, чем подверженное ему тело изменит сколько-нибудь заметно свое первоначальное положение. С другой стороны, действующие при ударе силы так велики, что за этот короткий промежуток времени действием обычных (неударных) сил можно совершенно пренебречь.

Весьма малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются от нуля до весьма большого значения и снова падают до нуля, то в теории удара за меру механического взаимодействия соударяющихся тел принимают не сами ударные силы, а их ударные импульсы, являющиеся величинами конечными.

Ударные импульсы, появляющиеся при соударении тел и приложенные к этим телам, зависят не только от масс соударяющихся тел и их скоростей до удара, но и от упругих свойств этих тел, так что выяснить все явление удара можно, лишь применяя теорию упругости. Однако задача теории удара в теоретической механике облегчается тем, что здесь не исследуется характер деформаций, которые имеют место при ударе тел, а требуется лишь определить изменение скоростей точек системы, вызванное уже совершившимся ударом.

Тем не менее все получающиеся при этом соотношения между ударными импульсами и изменением динамических характеристик системы (количества движения, кинетического момента) используются и при изучении явления удара в конкретных задачах, так как эти соотношения остаются верными независимо от источника возникновения ударных импульсов.

Основное уравнение теории удара. Пусть данная материальная точка массой т движется под действием обычной (неударной) силы Р. Допустим теперь, что в момент t₁ когда рассматриваемая точка имеет скорость V₁, на эту точку начинает действовать ударная сила F, действие которой прекращается в момент t₂. Определим движение данной точки под действием сил Р и F за весьма короткий промежуток времени  = t₂ – t₁, в течение которого длится удар.

Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим

,

где V₂ – скорость точки в момент t₂.

Рассмотрим отдельно каждый член правой части этого равенства.

По теореме о среднем значении определенного интеграла можно записать

; ,

где F_cp и Р_ср – значения сил F и Р в некоторый определенный момент t внутри участка интеграции.

При этом Р_ср является конечной величиной; ударная же сила F за время удара  = t₂ – t₁ достигает весьма большой величины F_cp (порядка 1/). Поэтому произведение P_ср будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением F_cp, являющимся величиной конечной. Из этих рассуждений следует, что импульс S_неуд обычной (неударной) силы Р за время удара  будет по сравнению с импульсом S_уд ударной силы F очень мал и им можно пренебречь. В результате окончательно находим

. (3.1.182)

Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара через v, а скорость этой же точки в конце удара – через и. Тогда уравнение (1.182) можно записать в виде

. (3.1.183)

Это уравнение представляет выражение теоремы об изменении количества движения точки при ударе, которая может быть сформулирована так: изменение количества движения материальной точки за время удара равно действующему на эту точку ударному импульсу.

Если на точку одновременно действуют несколько ударных импульсов, то изменение количества движения точки равно геометрической сумме этих ударных импульсов.

Проектируя векторное равенство (3.1.183) на координатные оси, получим три следующих равносильных ему скалярных уравнения:

ти_x – mv_x = S_x;

ти_у – mv_y = S_y;

mu_z – mv_z = S_z.

Таким образом, изменение проекции количества движения материальной точки на какую-нибудь неподвижную ось за время удара равно проекции на ту же ось действующего на эту точку ударного импульса.

Уравнение (3.1.183) является основным уравнением теории удара и играет такую же роль, как второй закон динамики при изучении движений под действием обычных сил.

Выясним теперь, как перемещается материальная точка за время удара.

Так как

и = dr/dt,

где r – радиус-вектор, определяющий положение данной точки относительно некоторой системы отсчета,

то уравнение (1.183) можно записать следующим образом:

.

Проинтегрировав это равенство в пределах от t₁ до t₂, найдем

,

где S_ср – есть среднее значение ударного импульса за время удара  = t₂ – t₁.

Учитывая при этом, что v и S_cp – величины конечные, а  весьма мало, приходим к выводу, что будет близко к нулю и, следовательно, за время удара перемещение точки практически равно нулю.

Таким образом, перемещением материальной точки за время удара можно пренебречь, считая, что за время удара эта точка практически остается неподвижной, т.е. не успевает переместиться.

В заключение отметим, что основное уравнение удара (1.183) является не дифференциальным уравнением, а уравнением с конечными величинами, из которого можно определить изменение скорости точки за время удара, если задан ударный импульс, или определить ударный импульс, если заданы скорости в конце удара и в начале удара.

Подобно этому, все другие уравнения теории удара, с которыми мы встретимся ниже, будут алгебраическими (конечными), а не дифференциальными уравнениями.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе. Если обозначим кинетический момент системы относительно центра О в начале удара через , а в конце удара – через , то будем иметь

. (3.1.184)

Уравнение (3.1.184) представляет выражение теоремы об изменении кинетического момента при ударе и может быть сформулировано так: изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно того же центра.

Если , то .

Отсюда следует, что внутренние ударные импульсы не могут изменить кинетического момента всей системы.

Проектируя векторы обеих частей уравнения (1.184) на координатные оси, получим

;

;

.

Таким образом, изменение за время удара кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему относительно той же оси.