Тема 8. Простейшие виды движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе (рис. 3.1.56). Траектории точек твердого тела могут быть любыми кривыми линиями.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все точки движутся поступательно, описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Д окажем эту теорему. Пусть твердое тело совершает поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ. Положение точек А и В определено радиус-векторами и соответственно, а положение точки В относительно точки А – радиус-вектором . Тогда

,

где = const, учитывая, что и ,

тогда

, но .

Следовательно,

| |=| |. (3.1.62)

Взяв производные от скоростей обеих точек, получим

или | | = | |. (3.1.63)

Т аким образом, доказано, что поступательное движение твердого тела есть простейшая форма движения. Изучение этого движения сводится к изучению движения точки.

Вращательное движение твердого тела. Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения (коленчатый вал поршневого двигателя, центробежный компрессор, газовая турбина реактивного двигателя, винт самолета вращаются вокруг неподвижных осей).

Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется углом поворота тела (φ). Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зависимость угла поворота от времени (рис. 3.1.57):

φ = f(t). (3.1.64)

Основными характеристиками вращательного движения тела являются угловая скорость – ω и угловое ускорение – ε.

Угловой скоростью тела называется величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени. Угловая скорость определяется по формуле

. (3.1.65)

где  – угловая скорость, рад/с, с^-1.

У гловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна dφ/dt и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 3.1.58, а). Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

В технике угловую скорость часто выражают не в радианах в секунду, а частотой вращения n, выраженной числом оборотов в минуту. Зависимость между n и ω с учетом того, что каждый оборот содержит 2π рад, имеет вид

.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и противоположно при замедленном вращении (рис. 3.1.58, а, б).

, (3.1.66)

где  – угловое ускорение, рад/с².

Величины φ, ω, ε, n являются угловыми характеристиками, применимыми для всего тела в целом. Их нельзя относить к отдельной точке вращающегося тела или к другой какой-либо точке. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .

Равномерное вращение. Равномерным называется такое вращение тела, при котором его угловая скорость постоянна:

ω = const; = ω = const; dφ = ω dt; = ω ;, φ – φ₀ = ω t

или

φ = φ₀ + ωt. (3.1.67)

Равнопеременное вращение. Равнопеременным называется такое вращение тела, при котором его угловое ускорение постоянно:

ε = const; = ε; ω = ω₀ ± εt. (3.1.68)

ω = ; φ = φ₀ +ω₀t ± ε (3.1.69)

При φ₀ = 0 и ω₀ = 0 получим

φ = ε .

С корости и ускорения точек тела, при вращательном движении. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии R от оси вращения OZ (рис. 3.1.59). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса R, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение dS = R dφ. Тогда скорость точки будет равна

V =

или

V = R ω. (3.1.70)

Скорость V называют линейной или окружной скоростью точки М.

Касательное и нормальное ускорения определяется по формулам:

,

или

a_ = Rε, a_n = Rω². (3.1.71)

Модуль полного ускорения находится по формуле

, (3.1.72)

а угол α между вектором полного ускорения и главной нормалью траектории вычисляется по формуле

tg α = (3.1.73)

Пример 1. Рулевой винт вертолета начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 4 с совершает 38,2 оборота. Определите его угловое ускорение, угловую скорость и закон изменения угла поворота.

Решение. При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение постоянно (ε = const). Записав для него общее дифференциальное выражение dω/dt = ε, разделим в этом выражении переменные и проинтегрируем его. В результате получим

ω = ε t.

Угловая скорость связана с углом поворота выражением . Еще раз разделив переменные и, проинтегрировав, найдем закон вращательного движения:

φ = ε .

По условию задачи при t = 4 c, φ = 38,2 об = 240 рад.

Подставив эти значения в общее выражение для угла поворота, найдем

240 = ε ,

откуда

ε = 30 с^-2.

Таким образом,

ε = 30 с^-2; ω = 30t c; φ = 15t².

Пример 2. При выходе на рабочий режим ротор газотурбинного авиадвигателя вращается согласно уравнению φ = 200π t + 15π t². Определите скорость и ускорение расположенного на расстоянии R = 475 мм от оси вращения центра тяжести лопатки ротора через 4 с после начала вращения.

Решение. Используя дифференциальные зависимости между углом поворота и угловой скоростью, угловой скоростью и угловым ускорением, найдем

ω = φ(t);  = 200 π + 30 π t = 320 π c^-1; ε = ώ (t) = 30 π c^-2.

По найденным кинематическим характеристикам вращательного движения находим скорость

V = ωR = 320π· 0,475 = 477 м/c.

Затем определяем касательное, нормальное и полное ускорения центра тяжести лопатки турбины:

a_ = εR; a_ = 30π·0,475 = 44,8 м/с²;

a_n =ω² R; a_n = (320π)²0,475 = 480 000 м/с²;

= 480 000 м/с².