Тема 2. Статически неопределимые задачи

при растяжении или сжатии

Системы, внутренние силы в которых от заданной нагрузки можно определить из уравнений их равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми системами.

Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы.

Разность числа неизвестных сил и числа независимых уравнений равновесия называют степенью статической неопределимости системы.

Уравнения равновесия дополняют уравнениями перемещений. Их составляют, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая соотношения между перемещениями ее сечений или узлов.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции).

В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим стержень, защемленный (заделанный) обоими концами и нагруженный силой Р (рис. 3.2.8, а). Под действием силы Р в заделках возникают реакции R₁ и R₂; требуется определить эти силы. Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) статика позволяет составить только одно уравнение равновесия:

SX = R₁ + R₂ – P = 0.

Следовательно, для определения двух неизвестных R₁ и R₂ необходимо составить дополнительно одно уравнение. Поэтому рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (т. е. степень его статической неопределимости равна единице). Для составления дополнительного уравнения отбросим нижнюю заделку и заменим ее влияние на стержень реакцией R₂ (рис. 3.2.8, б). Предположим, что действует только одна сила Р, а силы R₂ нет (считая, что действует только сила Р, подразумеваем, что она действует вместе с соответствующей ей реакцией верхней заделки R₁ – P). Под действием силы Р деформируется только верхний участок стержня длиной а, в результате чего сечение, где приложена сила Р, перемещается вниз на Ра/(ЕA). Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня.

Предположим теперь, что действует только сила R₂, а сила Р отсутствует. Под действием силы R₂ деформируется весь стержень, в результате нижний конец стержня перемещается вверх на R₂l/(EA).

В действительности нижний конец стержня, будучи заделанным, не получает перемещения. Следовательно, перемещение его вниз, вызванное силой Р, должно быть равно перемещению вверх, вызванному силой R₂, т.е. Pa/(EA) = R₂l/(EA), откуда R₂ = (а/1) Р. Зная величину R₂, из уравнения можно найти R₁ = (b/l)Р.

После определения реакций R₁ и R₂, вызванных действием силы Р, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производятся, как в случае статически определимой задачи.

Канонические уравнения метода сил. Известно, что при определении усилий в статически неопределимой системе необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения деформаций (перемещений) системы. Для этого, прежде всего, следует превратить заданную статически неопределимую систему в статически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная таким путем статически определимая система называется основной системой.

Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых оставляет статически неопределимую систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то ее деформации и возникающие в ней внутренние усилия будут такими же, как и в заданной системе, т. е. обе эти системы станут совершенно эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равны нулю.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить в следующем виде:

. (3.2.9)

Первый из каждого двойного индекса при Δ означает направление перемещения (и одновременно номер отброшенной связи); второй дает указание на причину, вызвавшую перемещение. Таким образом, слагаемые Δ_ik и Δ_iр представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи k и заданной нагрузкой.

Обозначив X_k реакцию связи k и выразив перемещения Δ_ik через единичные перемещения с помощью равенства Δ_ik = X_k_ik, условие (3.2.9) представим в следующем виде:

.

Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к удовлетворению следующей системы п линейных уравнений (где п – степень статической неопределимости системы):

(3.2.10)

Уравнения (3.2.10) являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Первое из них выражает равенство нулю перемещения в основной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия Х₁), второе – по направлению второй отброшенной связи и т. д.

Уравнения (3.2.10) называются каноническими уравнениями метода сил. Такое название указывает на то, что эти уравнения составляются по определенному правилу (канону) и что неизвестными в этих уравнениях являются силы, представляющие собой реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы.

Коэффициент _ik системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению и определяются по способу Верещагина (перемножением эпюр единичных моментов). Единичные перемещения _ii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными.